* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

104 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ очевидны почти сразу: по определению отображения С мы имеем для любых векторов х и у такие соотношения: С(х-\-у) = А(х+у) + В(х+у) = Ах + Ау + Вх + С (kx) = A (kx) + В (kx) = kAx-\- kBx = k (Ax - f С (x) = Ax + Bx, Cy = Ay -f- By t Ву, fit), откуда видно, что имеют место равенства С (х + 30 = - \ Су, С (/fejc)=ACJC, содержание которых совпадает с содержанием равенств (1) и (2). Определённое указанным образом отображение С называется суммой отображений А и В. Для обозначения суммы отображений применяется обычный знак: С—А-\-В. Знак равенства применяется здесь опять в смысле совпадения стоя­ щих по обе стороны объектов (два преобразования естественно считать совпадающими, если они переводят каждый вектор пространства в один и тот же вектор). Умножение отображений вводится следующим образом: если А и В — два данных отображения, то, взяв не­ который вектор х пространства, мож­ но перевести его сначала в вектор Вх, а затем к полученному вектору Вх применить преобразование Л. По­ лучим вектор А (Вх). Описанный про­ цесс ставит в соответствие каждо­ Рис. 12. му вектору х вектор А (Вх) того же пространства, т. е. определяет некоторое отображение рассматриваемого пространства в себя. Это отображение и называется произведением заданных отображений А и В. Оно обозначается АВ, причём важно обращать внимание на порядок множителей. Существенность этого замечания показы­ вается хотя бы таким примером: пусть отображение А является вращением плоскости на угол 9 (против часовой стрелки), а ото­ бражение В — зеркальным отражением в оси Ох (рис. 12). Чита­ тель без труда убедится, что вектор х, если к нему сначала при­ менить вращение А, а затем отражение B обратится в вектор В (Ах). Наоборот, если сначала к вектору х применить отражение В, а затем вращение Л, то мы получим вектор А (Вх), отличный от В (Ах). Произведение преобразований часто определяют короче и более выразительно, но менее точно, как преобразование, эквивалентное последовательному выполнению заданных преобразований. Нужно t