* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА 101 она определена, на некоторое другое м н о ж е с т в о ч и с е л . Напри­ мер, функция _y=arcsinJt ставит в соответствие каждому числу, содержащемуся между — 1 и - f - 1 , некоторое вполне определённое 1С тс число, содержащееся между — и у . Когда мы в элементарной геометрии говорим о д в и ж е н и и той или иной фигуры, то при этом имеем в виду, что заданная нам первоначальная фигура пере­ ведена в некоторую другую фигуру, причём эта новая фигура обла­ дает тем свойством, что каждая точка на ней определённым обра­ зом соответствует некоторой точке исходной фигуры. Хотя в школь­ ном курсе и не говорится явно о таком соответствии, его наличие на самом деле используется буквально во всех доказательствах, в которых применяется движение (достаточно вспомнить хотя бы доказательства признаков равенства треугольников, проводимые с помощью совмещения фигур). Для наших целей необходимо в двух отношениях отклониться от элементарного представления о соответствии, используемого в школьном курсе: 1) когда мы будем говорить об отображении, то будем предполагать, что оно определено во всём рассматри­ ваемом пространстве, т. е. что к а ж д ы й элемент пространства (а не только элементы какой-либо фигуры) имеет определённый образ, и 2) в качестве элементов, между которыми устанавливается соответствие, берутся не точки, а в е к т о р ы . Таким образом, мы будем говорить, что задано отображение А векторного пространства L в векторное пространство £ , если каждому вектору х первого пространства поставлен в соответствие определённый вектор второго пространства, обозначаемый А (х) или просто Ах, В соответствии с применённой выше терминологией вектор Ах будет называться образом вектора х. Мы будем говорить также, что отображение А п е р е в о д и т вектор х в вектор Ах. Так как при заданном отображении А каждая система векторов п р е о б р а ­ з у е т с я в некоторую другую систему, то отображения называются также преобразованиями рассматриваемого пространства. Среди отображений векторных пространств особенно простыми и наиболее часто встречающимися в различных приложениях являются так называемые линейные отображения (или преобразования). Отображение А векторного пространства L в векторное пространство L называется линейным, если оно обладает следую­ щими двумя свойствами: 1) образом суммы двух любых векторов является сумма их образов и 2) образом произведения вектора на любое число является произведение образа этого вектора на то же самое число. На языке формул эти свойства записываются таким образом; x 2 x 2 А(х+у) A{kx) = Ах-\~Ау = kA*, 9 (1) (2)