* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА 99 (обращаем внимание читателя на то, что d ih &-й строки и ^-го столбца новой- матрицы). При образовании произ­ ведения матриц А и В можно заметить следующее: на пересечении /-й строки и у-го столбца произведения АВ будет стоять сумма аА и ]х + а&Ар + . . . + d a Aj, in т. е. делённая на d сумма произведений элементов z-й строки ма­ трицы А на алгебраические дополнения соответствующих элементов у-й строки той же матрицы. В силу известного свойства определи­ телей такая сумма произведений равна нулю, если номера строк различны, и равна определителю, если номера строк совпадают. В последнем случае деление на d даёт единицу, так что в произ­ ведении рассматриваемых матриц на диагонали оказываются повсюду единицы, а все элементы, стоящие вне диагонали, — будут нулями. Иными словами, при умножении мы получаем единичную матрицу. Предоставляем читателю проверить, что единичная матрица полу­ чается и при умножении в другом порядке. Во всём дальнейшем обратная матрица для матрицы А будет обозначаться (там, где она существует) через Л " . В наших новых обозначениях приобретают особую простоту свойства ортогональных матриц, рассмотренные в предыдущем па­ раграфе. В рассмотренных там случаях плоскости и трёхмерного пространства ортогональные матрицы оказались такими, у которых суммы произведений соответствующих элементов различных столбцов равны нулю, а сумма квадратов элементов любого столбца равна единице. Если С есть такая матрица и если рассмотреть её транс­ понированную матрицу С , то мы легко убедимся, что произве­ дение С С равно единичной матрице: умножать элементы /-й строки транспонированной матрицы на соответствующие элементы у-го столбца матрицы С означает то же самое, что и перемножать со­ ответствующие элементы г-го и у-го столбцов матрицы С. Так как единицы получаются при этом в случае одинаковых номеров, а нули — в случае различных, то мы получаем указанный резуль­ тат: СТС = Е. Понятие о р т о г о н а л ь н о й м а т р и ц ы переносится на случай квадратных матриц любого порядка: такая матрица называется ортогональной, если её обратная матрица совпадает с транспониро­ ванной: С = С . Выше было обнаружено в случае плоскости, что определитель ортогональной матрицы может иметь только значения -\~\ или — I . Это — свойство всех о р т о г о н а л ь н ы х матриц: если матрица С ортогональна, то из равенства С С = Е следует, в силу только что доказанной теоремы об определителе произведения матриц, равен­ ство \С \ • \С i—l, где | C | v [С\ суть определители матриц С и С. 1 г Т Г _ | Т Г r т