* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА 95 общее доказательство в силу его меньшей очевидности и той роли, которую он играет во всём дальнейшем. Пусть матрицы Л, В и С равны, соответственно, «П «Л a «12 «22 #im\ «2m 1 /Ь п b n b t n \ 1 /с п С с П п | ^21 ^22 *2 Я | ^21 < pl « р 2 « р т / \b mi b m2 Ь / тп \с п1 с п% (Напомним ещё раз, что для возможности умножения необходимо, чтобы число столбцов первой матрицы равнялось числу строк вто­ рой, а число столбцов второй — числу строк третьей.) Тогда на пересечении любой r-й строки и у-го столбца произведения АВ будет стоять число т d u =2 o=l aiabaJt на пересечении же i-й строки и А-го столбца произведения (АВ)С — число п п т p=-l fJ=l a—1 С другой стороны, на пересечении у-й строки и А-ro столбца произведения ВС будет стоять: п P=i а следовательно на пересечении i-Pi строки и А-го столбца произ­ ведения А (ВС) будет расположено число т fik= т п a ^ «'««""* = ^ 2 b *&&* b Так как это выражение совпадает с числом, стоящим на пере­ сечении i-й строки и А-го столбца произведения (AB)C то будет: (АВ)С = А(ВС), что и нужно. Весьма полезно заметить влияние операции транспонирования на сумму и произведение матриц. Правила транспонирования сумм и произведений имеют вид t (Л 4 - В) = Л Г - f В* Т и (АВ) = Т ВА, Т Т или словами: а) транспонированная матрица для суммы матриц равна сумме транспонированных слагаемых; б) транспонированная матрица для произведения равна произведению транспонирован' них сомножителей в обратном порядке.