* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
94
ВЕКТОРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
И ЛИНЕЙНЫЕ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
Последний пример показывает, что квадратные матрицы вида 10 0 0 1 0 0 0 1
•ООО
«ведут себя» подобно числу единица: если умножение на них воз можно (т. е. если выполнено требование о числе строк и столбцов множителей), то от умножения на такую матрицу умножаемая матрица не изменяется. Однако первый пример показывает, что один из основ ных законов действий — коммутативность или переместительность умножения — не имеет места для умножения матриц. Тем не менее оперировать с матрицами оказывается почти так же удобно, как с обычными числами, ибо дьа других закона операций — сочетательный закон умножения и распределительный закон, связывающий сложение с умножением, — остаются справедливыми при введённых нами определениях операций. Иными словами, каковы бы ни были матрицы А, В и С, имеют место соотношения (А-\-В)С = АС + ВС; А(В-\-С) = АВ + А& (АВ)С = А(ВС).
9
(1)
Убедиться в этом можно прямой проверкой, вычисляя отдельно правые и левые части написанных равенств. Например, если матрицы Л, В и С равны, соответственно,
то (А + в ) С = (
а , ,
" ~* \a -\-b
n n
!
И
йП
"'"М/^
a2 +
2
С
«22/W
( « 1 2 " Н и ) С* («22 + М С*
Ч*П + ^(«21 +
b
ll)
1 + 1 +
С
\«21^ +
a
«22 2/ «12 2 +
fl С Ь
С
\*21 1+*82<Ъ \\ 1
С С
С
ll l +
С
C
+ +
b
vf%
С
#21 1 Л'
2fi 2
C
+
Ъ
П\
«22 2,
Совпадение результатов показывает справедливость в данном слу чае равенства (А-\- В)С=АС-\-ВС. В общем случае проверка имеет тот же характер, но усложняется и запись делается более гро моздкой. Для сочетательного закона (АВ)С = А(ВС) мы проведём
