* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
88
ВЕКТОРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
И ЛИНЕЙНЫЕ
ПРЕОБР\ЗОВАНИЯ
пользоваться базисом, состоящим из взаимно перпендикулярных еди ничных векторов. Такие базисы (или системы координат) называются ортонормальными. Не повторяя для плоскости всех приведенных рассуждений, ограничимся тем, что приведём формулы, соответствующие форму лам (4), (6) и (8): (х, y) = {e\ е[)х[у\
t
+ (,', е&х1у2 + (еЬ е[)х^у[ + (ё ё )х^
ъ 2
\(А')
(х y) =
у
x{yi-\-xiyi.
Последняя формула даёт выражение скалярного произведения в лю бом ортонормальном базисе плоскости.
§ 20. Преобразование координат
Хотя, как было только что отмечено, при решении метрических задач всегда оказывается наиболее удобным пользование ортонормальным базисом, довольно часто возникает необходимость в про цессе решения задачи и з м е н и т ь координатную систему. При этом изменяются также и координаты векторов. Задача преобразования координат состоит в установлении связи между координатами про извольного, но одного и того же вектора относительно различных базисов пространства. Эта задача решается совершенно одинаково в обоих интересую щих нас случаях — плоскости и трёхмерного пространства: отличие состоит лишь в числе векторов базиса и числе координат. Сначала получим явные формулы в случае пространства. Пусть задан произвольный базис е e е относительно кото рого координаты некоторого произвольно заданного вектора х будут: x х JC , т. е. х—е х ~\-е х -\-е х . Если ё еъ е — не который другой базис пространства и х\ х х — координаты вектора х по отношению к этому базису, то для установления за висимостей между «старыми» и «новыми» координатами можно по ступить следующим образом: векторы e\ е^, как и векторы пространства, однозначно представляются линейными комбинациями векторов е , е «старого» базиса. Удобно коэффициенты этих линейных комбинаций, как это мы часто делали, обозначить одной и той же буквой и различать только индексами, характеризующими роль каждого из коэффициентов. Таким образом, соотношения между векторами е[, ё и е е е запишутся в виде
ХУ iy гу lt 2У 3 х х 2 2 л ъ и 3 у ъ 3 t х э ь и 2У ъ
в\
€С
Х
ХХ
- j - £ Г , - j - ' ^3^31»
2 а
ei = е с
х
Х2
+
+
ес
г
Шу
(1)