* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА 87 на основе уже доказанных свойств. Способ, которым всё сводится к свойствам 1 и 3, — такой же, как в случае элементарной алгебры. Он яснее всего виден на таком примере: {a + b c + d) = (a + 6, r ) + (a + 6, d) = (с, a -f~b) - f (d, a + b) = t = (c, a) + (r, t + a) + (d, b) = = (a, c) + (b с) - f (c, d) - f (£, tf), в котором произведение (a -f- 6, с + d) сначала рассматривается как произведения одного вектора а~\-Ь на сумму векторов с и d, затем используется возможность перестановки множителей, снова применяется формула (5) и, наконец, делается обратная переста­ новка множителей. Доказательство в случае любых сумм прово­ дится индукцией. Свойства 1—3 позволяют получить выражение скалярного про­ изведения в любой системе координат, т. е. в случае базиса, состоящего из трёх произвольных векторов е\ е'ъ е'а> не лежащих в одной плоскости: если % х=е\х\ то (х y) = {€ 9 Xi 4- ё х + ех 2 2 г ъ у = е\у\ -|- eW - \- е у'г, 2 ъ е\)х\у[ 3 + {е\ е ) х\у -\-(е 9 2 2 3 3f г ъ е\)хьу[ ъ 2 + ё )х у -\2 2 + (e'i, e )xiy' -\-(e' + (e 2r е\)х' у[-\-(е eftxZyi + fa 4)x№ + (4, е' )х' у' . г 3 3 (6) Выражение, стоящее в правой части равенства (6), замечательно тем, что в каждый его член входит одна из координат каждого из рассматриваемых векторов х и у, причём точно в первой степени. Подобного рода выражения называются билинейными формами от координат х'и х% х' и УъУъУг- В случае, если векторы e[ е , е$ взаимно перпендикулярны, то все скалярные произведения любого из них на остальные обращаются в нуль (косинус угла между мно­ жителями в этом случае равен нулю), и формула (6) принимает вид 3 t 2 (JC, у) = (ei е[) х[у\ -\- (е& ei) x W + (