* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ПРОСТРАНСТВА 85 сводящие вычисление длин и углов к вычислению скалярных произведений. После этих замечаний легко получить аналитическое выражение скалярного произведения векторов через их координаты. Рассмо­ трим сначала выражение длины вектора. При этом в качестве ба­ зиса пространства удобно принять систему трех (а в случае пло­ скости — двух) взаимно перпенди­ кулярных векторов е е , е$, длина *3 каждого из которых равна единице. ч В таком случае координатами про­ ч ч извольного вектора х будут взя­ тые с надлежащими знаками дли­ V ны отрезков О Х ОХ и ОХ служащих проекциями вектора х и 2 \ \ \ \ \ и 2 Э9 fx i О • ( ч \ х > \ 1 ^ V' \/ / Рис. 6. на направления векторов е е% е (рис. 6). Поэтому в случае, если x = e x -]~e x -\-e x длина вектора х определяется (как длина диагонали прямоугольного параллелепипеда) формулой и 9 й 1 l 2 2 fi :it l*p=*i+*;+.*:. 2 (з) (В случае плоскости получается формула ] х \ =х[ + л £ отли­ чающаяся от предыдущей только отсутствием третьего члена.) Чтобы получить координатное выражение скалярного про­ изведения двух векторов х = е х -|- е^х + е%х и у = е у + + чУ% + зУ& рассмотрим их сумму х - j - у = е (х - j - у ) -f- е (х - } _|_ у ) _|_ ^ ( -|-.у ). Длина вектора х-\-у может быть выражена двумя способами: с одной стороны,- по формуле (3) имеем: х х 2 г х х е е х х х 2 % 2 е Хг 3 I * + J> Р = C*i + Л ) " + С* + л ) + х\ +у\ 2 + (*з + Л ) х в = х =^-\-х\ - ] - у\ ] - У] -1-2 (х у + х,у, ад);