* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
Г Л А В А III
ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ И ТРЁХМЕРНОГО ПРОСТРАНСТВА § 19. Метрика. Скалярное произведение векторов
•На общие векторные пространства, являющиеся естественным обобщением векторного пространства элементарной геометрии, можно распространить ряд важнейших свойств последнего. Сюда относятся, прежде всего, м е т р и ч е с к и е свойства, связанные с возможностью измерения длин отрезков и величин углов. Понятия длины вектора и угла можно ввести в случае вектор ных пространств любой размерности над любым числовым полем. Однако мы предпочитаем ограничиться в дальнейшем изложении рассмотрением обычного трехмерного пространства и обычной плоскости. При. этом в качестве основного поля, над которым определены наши пространства, принимается поле действительных чисел. Для того чтобы связать длину вектора и угол между двумя век торами с выражением векторов через их координаты, удобнее всего ввести понятие о так называемом скалярном произведении векторов. Скалярным произведением двух данных векторов называется произведение их длин, умноженное на косинус угла между ними. Скалярное произведение векторов а и Ь мы будем обозначать (а, Ь)ш Удобство применения скалярного произведения при рассмо трении метрических свойств пространства обусловлено тем, что через него можно выразить как длину вектора, так и угол между двумя векторами. Если обозначить длину вектора обычным знаком абсолютной величины, то из выражения скалярного произведения (a, A) = l c K f t | c o s o легко видеть, что имеют место формулы: (2) (1)
