* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 83 3. О существовании решений систем уравнений в различных числовых полях. Одной из причин, вызвавших появление в мате­ матической теории различных числовых (и не только числовых) полей, являлось то обстоятельство, что существуют уравнения, ко­ торые в одних полях имеют решения, а в других — нет. Так, напри­ мер, известно, чго уравнение J t 1 = 0, коэффициенты которого принадлежат полю действительных чисел, не имеет решений в этом поле, а в поле комплексных чисел у того же уравнения имеются решения / и — / . Причиной, заставившей рассматривать поле ком­ плексных чисел, было именно желание добиться того, чтобы всякое алгебраическое уравнение (первоначально с действительными коэф­ фициентами) имело решения. Подобное появление решений при расширении поля не может иметь места в случае линейных уравнений: Если система линейных уравнений с коэффициентами из поля К не имеет решений в этом поле, то она не может иметь ре­ шений ни в каком другом, более широком, поле. В самом деле, существование или несуществование решений свя­ зано с соотношением между рангом матрицы системы и расширен­ ной матрицы. Но эти ранги не могут измениться при расширении рассматриваемого числового поля, так как не меняются даже значе­ ния миноров матриц (ибо вычисление определителей сводится к действиям сложения, вычитания и деления). Это обстоятельство объясняет, почему вопрос о расширении поля чисел не мог возникнуть исторически раньше, чем начали за­ ниматься задачами, приводящими к уравнениям второй и более вы­ соких степеней. a