* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 77 числовые векторы можно себе представлять в виде обычных «гео­ метрических» векторов, имеющих те же координаты (в какойлибо координатной системе), что и данные числовые векторы. При этом рассмотрении мы можем сразу оставить в системе только не­ зависимые уравнения, число которых, как всегда, равно рангу дан­ ной системы. Так как ранг не может превышать число неизвестных, то возможны только следующие четыре случая: А) Ранг системы равен нулю. Независимых уравнений нет, т. е. все уравнения являются тождествами: коэффициенты при неизвест­ ных и свободные члены равны нулю. В этом случае, очевидно, ре­ шения заполняют всё пространство. Связь между решениями неод­ нородной системы и решениями соответствующей однородной системы не имеет смысла рассматривать, так как возможны только однородные системы, удовлетворяющие поставленным условиям. Б) Ранг системы равен единице. Независимое уравнение одно ax n t + ax vi 2 - f a x. = Ь . lz A у (5) состоит из одного Соответствующая однородная уравнения система также В качестве свободных неизвестных можно выбрать любые два, но так, чтобы коэффициент при третьем неизвестном был отличен от нуля. Если таким коэффициентом является а , то можно пере­ писать уравнение (5) в виде п Пространство решений для уравнения (6) — двумерное. Его базис мы получим, придавая дг и х следующие комбинации значений: 1, О и 0, 1. Соответствующие решения однородного уравнения будут: 2 л Если изобразить эти решения в виде векторов обычного трёхмер­ ного пространства, то совокупность всех решений однородного уравнения представится множеством векторов плоскости L , «натя­ нутой» на построенные так векторы. Чтобы построить совокупность всех решений неоднородного уравнения, достаточно изобразить вектором х о д н о из е г о р е ш е н и й . Тогда, согласно изложенному выше, прибавляя этот век­ тор ко всем векторам построенной только что плоскости, мы по­ лучим требуемое. Легко усмотреть, что концы всех построенных таким образом векторов (если считать, что их начала все располо­ жены в начале координат) располагаются на плоскости, проведён­ ной через конец вектора х параллельно плоскости L . s 0 0 t