* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

76 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Теперь мы в состоянии рассмотреть случай произвольной не­ однородной системы [система (1) предыдущего параграфа]. Усло­ вимся называть систему однородных уравнений, получаемую из дан­ ной системы приравниванием нулю её левых частей, соответствую­ щей (данной системе) однородной системой. Для этой системы [си­ стема (1) этого параграфа] совокупность всех решений является некоторым подпространством /л-мерного числового пространства. Рассмотрим случай, когда данная система имеет хотя бы одно решение x х . . . , х . Имеет место следующий основной результат: Т е о р е м а . Совокупность решений неоднородной, системы по­ лучается, если к каждому вектору подпространства решений соответствующей однородной системы прибавить (одно и то'же для всех векторов) решение данной неоднородной системы уравнений. Для доказательства введём обозначение w т т Х х -=Xi -j- Xq = Л"2 X m = = x /n x mw где x\ x'/ ..., x' — новые неизвестные. Подставляя эти выраже­ ния x л г , х через х\» х* ..-, х в уравнения системы (1) § 15, получим систему равенств t t m lt 2 т ъ РХ а х\ и 4 - а хп 2 -f... + ах ш т + ~\" 12 *о а х ( ll lc a x "~Г • • • 4" a lm md) X + 4~ ( ,ii lH tQt 2 о т a X ) Х (4) 4~ п2 М а 4" • • • Л~ пт то) а Х = Ьп- I Так как x л г , х есть решение исходной системы, то сто­ ящие в скобках суммы в левых частях будут попросту равны пра­ вым частям уравнений. Поэтому система (4) совершенно равносиль­ на такой: ац*1 + a X2 + • • • + a x' — b ls а* т ш ш ltn * m 9w • п lt а х\ п1 + ах пг 2 + - - - + а х' пт т = Ь, т. е. оказывается однородной системой, соответствующей данной системе. Проведённое преобразование показывает, что вектор (х лг ,..., х ) будет решением первоначальной системы в том и только в том случае, когда вектор (х\, х^,..., х' ) будет решением соот­ ветствующей однородной системы. Но это и есть требуемый результат. Сказанное становится совершенно наглядным в случае систем уравнений с тремя неизвестными, так как в этом случае трёхмерные 1г 2 т т