* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

72 BFKTOPHblE ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ Перенесённые направо неизвестные называются свободными неиз­ вестными, так как мы можем придать каждому из них произволь­ ное значение, подставить в систему (3) и решить ее относительно неизвестных х ... х (так как определитель этой системы отличен от нуля). Таким образом, возникает бесконечное множество реше­ ний системы (1), получаемых изменением значений свободных неизвестных. Легко видеть, что таким образом получаются все решения системы (3), а следовательно, и системы (1). В самом деле, если х \ Х п х' ,.ш., х' есть какое-либо решение системы (3), по­ ложим в системе (3): х =х' ... x = x' . При этих условиях система (3) должна о д н о з н а ч н о определить значения неизвест­ ных х ,..., х удовлетворяющие системе (2). Но такие значения нам уже известны: они равны х\ ... х' , следовательно (в силу однозначности!), именно их мы и получим, решая систему (3) по ука­ занному выше правилу. Резюмируя сказанное, получаем такой результат: Т е о р е м а . Если общее значение ранга матрицы системы (1). и расширенной матрицы той же системы меньше числа неизве­ стных, то система имеет бесконечное множество решений. Если же общее значение рангов указанных матриц равно числу не­ известных, то система (1) имеет единственное решение. Отметим один важный частный случай этого результата. Система (1) называется однородной, если все свободные члены уравнений равны нулю. В случае однородной системы ранг расши­ ренной матрицы никогда не может отличаться от ранга матрицы коэффициентов при неизвестных: добавление к системе векто­ ров нулевого вектора не меняет ранга системы. Поэтому решение однородной системы должно всегда существовать (хотя бы одно). Такой результат ясен сразу: если мы в однородной системе урав­ нений положим значения всех неизвестных равными нулю, то мы удовлетворим системе. Это нулевое решение обычно не представ­ ляет интереса (хотя бы уже потому, что оно никак не связано с коэффициентами уравнений, а следовательно, и с постановкой за­ дачи, приведшей к этой системе). Интересными являются только решения, отличные от нулевого. Сформулированная только что тео­ рема позволяет высказать следующее условие существования таких решений. Т е о р е м а . Для того чтобы система однородных уравнений обладала решением, отличным от нулевого, необходимо а доста­ точно, чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных. В самом деле, в таком случае должно существовать бесконечное множество решений данной системы. Так как нулевое решение — только одно, то должны существовать и ненулевые решения. Эта полезная теорема принимает особенно простую форму в случае системы п уравнений с п неизвестными: 1У у г у г+1 т глЛ ТуХУ у m m х гУ у у г