* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 73 Т е о р е м а . Для того чтобы однородная система п уравнений с п неизвестными имела ненулевое решение, необходимо и доста­ точно, чтобы определитель этой системы равнялся нулю. Действительно, из матрицы коэффициентов при неизвестных мож­ но составить в этом случае только один минор п-то порядка — определитель системы (в матрице всего п строк и п столбцов). Поэтому обращение единственного минора порядка п в нуль необ­ ходимо и достаточно для того, чтобы ранг матрицы был меньше п. § 16. Геометрическая интерпретация. Системы с тремя неизвестными Используем теперь наш геометрический аппарат для того, чтобы получить обзор в с е й с о в о к у п н о с т и р е ш е н и й рассматрива­ емой системы линейных уравнений. Для этого будем рассматривать любую комбинацию значений неизвестных х л г . . . , х как вектор m-мерного числового пространства. Если рассматриваемая комбина­ ция будет решением системы уравнений, то мы будем говорить, что этот в е к т о р е с т ь р е ш е н и е данной системы. Так как в общем случае отнюдь не каждый вектор будет ре­ шением интересующей нас системы уравнений, то решения будут заполнять собою только некоторую часть всего пространств?. Наша задача будет состоять в том, чтобы охарактеризовать эту часть. Начнём со случая однородной системы: и 2> т а \1 1 х ~\~ 12 2 а х ~\~ * * * ~\~ 1т т а х = О» + в **в + • • • + а т т = 0Простой подстановкой легко убедиться в том, что если векторы х' = (х\, х\ ... , х' ) и х" = (х\\ х*2,..., х ) (мы их пишем для удоб­ ства в виде строк) являются решениями этой системы, то векторы й\1 п х х я П у т т ДГ+ У = ( 1-\- \> х х х 'т-\- 'т) х И kx' = {kx[, kx'% . . . у kx ) m (при любом числовом множителе k) также будут решениями этой систе­ мы. Таким образом, совокупность решений содержит вместе с лю­ бым вектором и все его числовые кратные, а вместе с любыми двумя векторами — их сумму. Другими словами (ср. § 11): Совокупность решений однородной системы уравнений всегда является подпространством т-мерного числового пространства, где т — число неизвестных в системе. Легко определить также и размерность этого подпространства. Именно, имеет место Т е о р е м а . Размерность подпространства решений однородной системы уравнений с т неизвестными равна т — г, где г — ранг матрицы системы. В самом деле, пусть мы уже выбрали г независимых уравнений данной системы, как это было сделано в предыдущем параграфе.