* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

64 ВККТОРНЫЕ П Р О С Т Р А Н С Т В А И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ которую будем называть матрицей перехода от базиса e ... , е к системе е\ , е' . Иными словами, матрицей перехода от базиса е е , е к системе е\, ёъ , е*т мы назвали матрицу, столбцы которой составлены из координат векторов системы е[, , ё относи­ тельно данного базиса. Эта матрица однозначно определена при заданной системе е[ , ё и сама определяет эту систему (конечно, при заданном базисе е , е ). Стоящий перед нами вопрос может быть теперь формулирован точнее следующим об­ разом: как по матрице перехода (3) узнать, является ли си­ стема векторов ё\ , ё базисом пространства L? Ответ на этот вопрос даётся такой теоремой: Т е о р е м а . Для того чтобы система е[, е'2, , ё была ба­ зисом пространства L , необходимо и достаточно, чтобы матрица перехода (3) быЛа квадратной и чтобы составленный из неё опре­ делитель был отличен от нуля. В самом деле, система е[, , ё т о л ь к о тогда может быть базисом пространства L , когда число векторов этой системы равно п (ведь число элементов векторов в любых базисах простран­ ства L одно и то же). Для доказательства того, что определитель матрицы (3) отличен от нуля, если т = п и система е[ , ё является базисом, воспользуемся соображениями § 2—4. Для любых векторов ir п у т и ъ п п у т и п у т т т у т x i = ех х 2 и + ад, ш + . --+ ex n п nlt дг = ^ д г ^ - ] - е±х -\- — - ] - е„х ^ у (1) пространства L положим: Х \\ 21 -*Т2 Х Х 1п F (дГ|, д: , 2 , хп) — Х № Х Ы (5) Х п\ Х п2 Х * ' " пп Этим определена некоторая функция от п векторов пространства, не равная тождественно нулю, так как её значение F(e . . . , e )= 1 по самому определению этой функции. С другой стороны, если положить x =e[ , х — ё то значение функции F обратится в интересующий нас определитель матрицы (3). Обратим теперь внимание на то, что наша функция обладает свойствами А) и Б) определения, сформулированного в § 2. Поэтому для неё будут верны также и следствия этих свойств, доказанные в § 2, в част­ ности распределительный закон и свойство менять знак при пе­ рестановке аргументов. Если система е\ . . . , ё является базисом пространства, то эти свойства позволяют получить другое виражеlf n l y п т % п