* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

62 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРА30В \ НИЯ т. е. вновь образованная система значений неизвестных действи­ тельно удовлетворяет уравнению (2). Мы ограничимся пока этими результатами. Их мы будем в со­ стоянии ещё уточнить, после того как найдём способ вычисления ранга систем векторов. § 13. Базис пространства. Координаты В конце § 11 мы видели, что любая максимальная линейно не­ зависимая система векторов какого-либо множества эквивалентна всему этому множеству. В частности, максимальная линейно неза­ висимая система е ... , е векторов пространства L эквивалентна всему пространству. Это означает, что любой вектор х простран­ ства может быть представлен в виде линейной комбинации векто­ ров нашей системы: и п x = ex 1 t 1 + ...-\-e x n n9 (1) где x —некоторые числа рассматриваемого числового поля. Но равенство (1) можно рассматривать как уравнение относи­ тельно неизвестных коэффициентов x , х . Полученное в пре­ дыдущем параграфе у с л о в и е е д и н с т в е н н о с т и решения та­ кого уравнения в рассматриваемом случае выполнено, так как век­ торы e ... , е линейно независимы. Подобное положение, замеченное нами в § 1 в случае векторов плоскости, дало возможность ввести для векторов плоскости коор­ динаты. Это же может быть теперь сделано в случае п р о и з в о л ь ­ н о г о векторного пространства L над числовым полем АТ. Будем называть любую максимальную линейно независимую систему векторов е , , е пространства L его базисом (или базой). Если задан такой базис, то равенство (1) сопоставляет с каждым вектором систему чисел х ... , х . Эти числа мы будем называть координатами вектора х относительно базиса е , е . Ясно, что любые значения координат будут соответствовать некоторому вектору пространства L (конечно, если они берутся из того числового поля, на котором определено наше пространство). Введение координат, как и в обычном случае, даёт возможность с в о д и т ь исследование систем векторов к исследованию систем чисел. Однако, в случае обычной аналитической геометрии, мы получаем таким образом только аппарат, п о м о г а ю щ и й часто более просто решать задачи, которые могут быть решены и другим геометрическим способом. В общем же случае такое сведение к чи­ слам будет е д и н с т в е н н ы м способом, которым мы вообще в со­ стоянии решать задачи, так как никаких «геометрических» методов в нашем распоряжении нет. Jt п v п х п и п и п