* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 55 Рангом множества М векторов называется максимальное число векторов в линейно независимых частях этого множества. Если ранга в смысле этого определения не существует (как в только что рассмотренном пространстве F ) то мы будем гово­ рить, что ранг бесконечен. Пусть М—какое-либо множество векторов пространства L (может быть, М совпадает со всем пространством) и пусть а , . . . , а — какая-либо конечная линейно независимая система векторов множества М. Будем называть её максимальной линейно независи­ мой системой во множестве Ж, если добавление к ней любого вектора нашего множества л и ш а е т её свойства быть линейно не­ зависимой. Для таких систем имеет место следующая Т е о р е м а . Линейно независимая система а а , ... , а век­ торов тогда и только тогда является максимальной линейно независимой системой во множестве М, когда она эквивалентна всему множеству. Если а , а и b ... , b — две максималь­ ные линейно независимые системы векторов множества М, то они содержат одно и то же число элементов: т = п. Легко видеть, что второе утверждение непосредственно выте­ кает из первого в силу доказанного выше следствия теоремы о за­ мене, относящегося к эквивачентным линейно независимым системам. Доказательство же первого утверждения можно провести так: 1) Пусть система а . . . , а является м а к с и м а л ь н о й линейно независимой системой векторов множества М\ все её векторы линейно выражаются через векторы множества М. С другой стороны, если х — любой вектор из М то система векторов a ... , а х будет уже линейно зависимой. Поэтому должна существовать равная нулю линейная комбинация этих векторов m y х п ХУ д п ХУ п t1 m ХУ п у v пУ ka x x + -•• + ka n n -{-kx = O t имеющая хотя бы один отличный от нуля коэффициент. Но легко видеть, что k не может равняться нулю, так как в этом случае был бы отличным от нуля один из других коэффициентов и векторы Д|, , а были бы линейно зависимыми, вопреки предположению. Это же в свою очередь означает, что вектор п Так как х — произвольный вектор из Ж, то векторы из М линейно выражаются через векторы системы а ... , а . 2) Наоборот, пусть линейно независимая система векторов д , , . . . , д , множества М эквивалентна всему множеству. Тогда любой вектор х множества М будет некоторой линейной комбинацией векторов данной системы: х> п л x=k a x x + -\-k a n n или \х — k a x x —... — ka n n = 0.