* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

54 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВ\ И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ никакая линейно независимая часть системы М не может содер­ жать больше т векторов. В самом деле, если a , а — линейно независимая часть системы М, то к ней и к системе векторов Ь ..., Ь может быть применена теорема о замене, из которой следует, что п ^ пи Этот результат может быть применён, в частности, к простран­ ству числовых векторов: в § 2 мы видели, что каждый «-мерный числовой вектор может быть представлен линейной комбинацией фиксированных векторов e , е . Следовательно, в силу только что отмеченного следствия теоремы о замене никакая линейно не­ зависимая система n-мерных числовых векторов не может содер­ жать более п векторов. Другим важным следствием теоремы о замене является следую­ щее предложение: Если две конечные системы векторов Ь , Ь и с ... , с линейно независимы и эквивалентны, то число элементов в обеих системах одно и то же: т=р. В самом деле, эквивалентность систем и линейная независимость каждой из них позволяют использовать теорему о замене дважды: один раз первая из систем принимается за множество а , ... , Д , а другая за М, а другой раз — наоборот. Это даёт два неравен­ ства т^р и р^т для чисел элементов в системах. Доказываемое равенство из них следует непосредственно. Рассмотрим теперь к а к о е - л и б о множество векторов данного нам пространства и будем выбирать из него всевозможными спосо­ бами конечные линейно независимые части. При этом логически возможны два случая: либо можно выбрать линейно независимые части, содержащие сколь угодно большое число векторов, либо же число векторов в каждой из таких частей никогда не б.удет пре­ восходить некоторого числа ги Сделанное только что замечание об «-мерном числовом пространстве показывает, что в случае число­ вых векторов будет иметь место как раз второй случай. То, что и первый случай не является только л о г и ч е с к о й в о з м о ж н о с т ь ю , можно увидеть, например, в случае простран­ ства всех многочленов F (см. пример 4 § 8). Степени х: х, х , ... ...,х , являются «векторами» этого пространства. Их линейными комбинациями являются многочлены k x -j-Agjc -|- . . . -^-k^, при­ чём коэффициенты линейной комбинации являются просто коэффи­ циентами этих многочленов. Отсюда видно, что нулевой многочлен (нулевой вектор нашего пространства!) мы можем получить, только взяв все коэффициенты равными нулю. Следовательно, «векторы» x , х", . . — линейно независимы, и мы можем из них выбрать конечную линейно независимую систему, содержащую сколь угодно большое число элементов. Мы примем такое определение: v п и т lt п и т и р г л 2 m п 2 t t