* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 49 Обнаруженное свойство нулевого вектора даёт возможность по­ казать, что произведение любого вектора а на число 0 равно ну­ левому вектору. Действительно, в силу аксиом IV и V имеем: a -f- 0 - а = 1 -а-f_]-0 • а = (1 -\-0) • а = а. Это означает, что вектор 0 - а обладает указанным свойством, а значит, он равен нулевому вектору. Сделанное замечание позволяет не опасаться путаницы от того, что число нуль и нулевой вектор мы обозначаем одинаковым обра­ зом. Их свойства аналогичны, а в каждом отдельном случае сразу видно, с числом или с вектором мы имеем дело. Если имеется векторное равенство, одна из частей которого содержит слагаемым вектор а, то, прибавляя к обеим частям проти­ воположный вектор — а, получим равенство, отличающееся от перво­ начального только тем, что вектор а «перенесён» из одной его части в другую с противоположным знаком. Подобного рода формальными преобразованиями равенств мы будем далее пользоваться без особых оговорок. § 10» Линейная зависимость векторов Доказанные н предыдущем параграфе свойства операций над векторами позволяют действовать с ними так же свободно, как с обычными числами или с многочленами. Мы больше не будем возвращаться к этим элементарным свойствам и обратимся к понятию, играющему в дальнейшем основную роль, — понятию линейной зави­ симости. Уже в § 1 мы пользовались термином «линейная комбинация» векторов. При рассмотрении любого векторного пространства L мы будем также называть выражения вида k a -\- £ а -\-... -|- к а линейными комбинациями векторов а a . . . , а , если только коэффициенты k k ...,k принадлежат числовому полю К, над которым рассматривается наше пространство. Обратим внимание читателя на то, что при этом не исключается случай, когда все коэффициенты равны нулю. Поэтому нулевой вектор всегда можно представить линейной комбинацией любых заданных векторов. Пусть теперь М — произвольная система векторов нашего про­ странства. Эта система называется линейно независимой, если линейная комбинация векторов, принадлежащих системе, может быть равна нулю только в том случае, когда все коэффициенты равны нулю. В случае, если можно указать хотя бы одну линейную комбинацию векторов системы, коэффициенты которой не все равны нулю и которая тем не менее равна нулю, говорят, что данная си­ стема линейно зависима. Легко видеть, что если на плоскости взять любые два непарал­ лельных вектора, то они будут линейно независимы: никакая их линейная комбинация с отличными от нуля коэффициентами не может x x 2 2 п Л и i t Л v it n 4 Энциклопедии, к н . 2,