* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

СЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА 45 лённые так сложение и умножение па число удовлетворяют требо­ ваниям, выраженным в аксиомах I—V. Но сказанное означает, что совокупность С при введённых так операциях над функциями является также векторным пространством над полем д е й с т в и т е л ь н ы х чисел. П р и м е р 4. Совокупность F всех многочленов с коэффициен­ тами из данного поля К также является векторным пространством, если считать сумму многочленов и произведение многочлена на число определёнными обычным образом. Этими примерами далеко не исчерпываются н е т о л ь к о в с е вообще существующие векторные пространства, но даже те из них, которые оказываются н а и б о л е е в а ж н ы м и в современной ма­ тематике. Полезность введённого в этом параграфе аксиоматического или «абстрактного» определения векторного пространства состоит именно в том, что оно позволяет изучать одновременно очень большое ко­ личество различных «конкретных» пространств. В самом деле, все результаты, которые удаётся получить, исходя т о л ь к о из введён­ ного определения, необходимо будут верны в любом случае, когда условия определения выполнены. Нужно добавить, что на самом деле связь между «абстрактными» и «конкретными» результатами здесь н е т о л ь к о в том, что из общих теорем абстрактной теории получаются конкретные следствия, но и в т о м , что известные результаты в случае отдельных частных «конкретных» пространств, например совокупности векторов на пло­ скости или в обычном трёхмерном пространстве, позволяют пред­ видеть факты, имеющие место в общем случае. Тем самым мы получаем средство устанавливать связи иногда даже между очень отдалёнными на первый взгляд разделами математики. Развитие математики в течение конца XIX в. и те работы, которые ведутся в настоящее время, указывают много таких связей. Их про­ стое перечисление не может принести пользы, а более подробное выяснение существа дела завело бы нас слишком далеко от основной темы. Поэтому мы ограничимся сделанными замечаниями и перейдём к систематическому исследованию свойств векторных пространств, начиная с простейших. TO § 9. Простейшие свойства операций над векторами Мы начнём с того, что выведем простейшие следствия из опре­ деления векторного пространства, относящиеся к операциям над векторами. Из нашего соглашения об употреблении знака равенства и из того, что сумма двух векторов однозначно определена, выте­ кает следующее хорошо известное правило оперирования с ра­ венствами: