* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

36 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВЯ И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ число транспозиций столбцов будет k— 1, а число транспозиций строк равно / — 1 . Таким образом, для того чтобы компенсировать изменение знака определителя при каждой транспозиции строк и столб­ цов, мы должны умножить полученный в конце концов опреде­ литель на ( — i y ~ , т. е. на ( — l ) . Этим способом мы находим, что рассматриваемое алгебраическое дополнение равно определителю + f t 2 y + f e 1 a j\ a j,k-l a J,k +l *" Jn a О 0 а 7-Ы"'* ni a J-Uk-l n,k-l a J-Uk +l a "* J-Un a • • • a a a • n,k+l nn • Для того чтобы свести его вычисление к вычислению определителя более низкого порядка, осталось только применить к нему форму­ лированную выше теорему. Согласно ей этот определитель равен сумме произведений элементов первого столбца на их алгебраиче­ ские дополнения. При этом в сумме фактически остаётся один член, соответствующий первому элементу столбца, так как остальные его элементы равны нулю. Но алгебраическое дополнение первого эле­ мента первого столбца, как мы видели выше, равно минору, соот­ ветствующему этому элементу. Поэтому окончательно получаем, что рассматриваемое алгебраическое дополнение равно * ш a • • • * a а у-ы j-i,k-i a y-l.fc + i » " n> k + l a J-l,n ал! a n>k~l a nn Этот результат можно выразить совсем короткой формулой, если условиться обозначать алгебраическое дополнение элемента aj через A а соответствующий этому элементу минор — через M . В таком случае наш результат запишется в виде k fkt jk Сама теорема, которая была формулирована в начале параграфа, может быть теперь записана в виде формулы л D = или 2 a ]k jk A = aiHift + л - f . . . -f- (4) D = \ ( - l ^ ^ 7=1 A l (4')