* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 37 где k означает номер того столбца, по элементам которого разла­ гается определитель. Равенство ( 4 ) может быть использовано для вычисления опре­ делителей в любом случае. Однако наиболее легко его применять в случаях, когда в рассматриваемом столбце многие элементы равны нулю. При вычислении определителей это условие само по себе редко бывает выполненным, и поэтому бывает полезно искусственно создавать нулевые элементы в определителе, пользуясь тем, что к его столбцам можно, не изменяя значения определителя, приба­ влять другие столбцы, умноженные на произвольные числа. Этим мы уже пользовались выше при вычислении алгебраического дополнения элемента а,,. Следует заметить, что данное выше определение алгебраического дополнения по форме несимметрично: в нём строки и столбцы играют внешне различную роль. Однако, полученное выражение Aj = = (—iy Mj показывает, что алгебраическое дополнение элемента определителя на самом деле не изменяется при замене строк столб­ цами, так как при этом не изменяются ни сумма номеров строки и столбца, содержащих данный элемент, ни дополнительный минор» Отсюда следует, что найденные для столбцов результаты можно и в этом случае применять к строкам определителя. Например, формула k +k k « (4) переписывается для строк так: D= ^ aj A . k jlt Многочисленные примеры вычисления определителей собраны в задачнике Фаддеева и Соминского, указанном в помещённом ниже списке литературы. В этом задачнике приведены подробные указания, упрощающие вы­ числения, в частных случаях. В заключение приведём ещё одно свойство определителя, выте­ кающее из доказанной теоремы: Сумма произведений элементов одного из столбцов определи¬ теля на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю. В самом деле, пусть речь идёт о k-м и 1-м столбцах. Тогда в силу формулы (4J будем иметь: я 1 Л 1-го столбца элементы k-ro Подставляя сюда вместо элементов столбца, получим выражение л У. я , И , 7 / 1 ( ) 5 Так как изменение здесь заключается т о л ь к о в том, что элементы