* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 31 Таким образом, значения этих частичных сумм будут равны, соот­ ветственно, определителям | flf, Л , .. . , 2 CL . --, Л п | И | CL , Д , • • - f & k> X 2 •• •• I» а исходный определитель равен сумме этих определителей. Рассмотрим теперь выражение (*) в случае, когда два из столб­ цов ai a а совпадают. Для определённости предположим, что совпадают первые два столбца (рассуждения, которые приво­ дятся ниже, не зависят от номеров этих столбцов). Возьмём какойлибо член zbfly , aj^>..aj суммы (*). Он содержит множитель а - , из 1-го столбца и множитель ay из 2-го столбца. Поменяв местами индексы j и у , получаем новый член ± f l y , а у . . . а у „ , суммы (*). Знаки этих членов определяются перестановками j j \ , . . .,у" Л» 7i» * • • > 7 - А так как эти перестановки получаются одна из другой транспозицией индексов j и у , то они неизбежно различ­ ной чётности, так что знаки в обоих случаях необходимо различны. Что касается самих произведений а ^ , # / 2 у 1 j z'-- j n* то они совпадают, так как в силу равенства столбцов а и д будет: aj = а и а , = а Итак, в случае совпадения двух столбцов t if п nn ; s t 2 a 2 л i t п и Л x 2 и а a a х 2 2 x n х 2 % } Y у 1в определителя \a д , а \ в его выражении каждому члену будет соответствовать такой же член с противоположным знаком, т. е. в этом случае значение определителя равно нулю. Таким образом, свойство Б ) также имеет место. Остаётся проверить свойство В). Для этого рассмотрим опреде­ литель 1 0 0 . .0 it 2 п 0 1 0 . 0 0 1. • .0 .0 .1 6 0 "о". Применяя к нему равенство (*), видим, что в сумме остаётся только один член, отличный от нуля, — это произведение стоящих по диагонали единиц. Соответствующая этому члену перестановка индексов, как легко видеть, есть 1, 2, 3 , Т а к как эта пере­ становка не содержит инверсий, то она чётная, а следовательно, значение нашего определителя равно -|- 1. С этого момента мы можем утверждать, что смысл термина «опре­ делитель», который мы ввели в начале этого параграфа, сов­ падает с первоначальным смыслом, установленным определением § 2. Одновременно, конечно, обнаружено, что выражение (*) обладает и свойствами, доказанными в начале § 3. К у ж е известным нам свойствам полезно добавить ещё два свойства, важные для вычисления определителей и вытекающие из уже доказанных: