* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

32 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВ\ И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВ^ИЯ Значение определителя не меняется, если к элементам одного из его столбцов прибавить элементы другого столбца, умножен­ ные на одно и то же число. При доказательстве удобно воспользоваться нашими старыми обозначениями. Пусть, например, к элементам первого столбца определителя | a д , *2 , . . . , а \ мы прибавим соответствующие элементы третьего столбца, умноженные на число k. Тогда полу­ чается определитель \a, ~\-ka , д , д , . , . , с | . Пользуясь линей­ ностью определителя по первому аргументу, получаем: l f 2 3 п 1 z 2 3 п | a -\- ka , а , д , . . . , а | = | а t 3 2 3 п ь а , д , . . . , а \ -\- k \ а , а , д , . . . , а 2 3 п г 2 3 п \. Но второе слагаемое в правой части равно нулю в силу свойства Б). Этим всё доказано. Значение определителя не изменится, если его столбцы заме­ нить соответствующими строками. Операция замены столбцов соответствующими строками назы­ вается транспонированием таблицы определителя. Рассмотрим определитель D = а 2п- •> пп а получающийся из данного транспонированием. В полученной таблице первый индекс служит уже номером столбца, а второй — номе­ ром строки. Поэтому, применяя для явного выражения определи­ теля сумму (*), мы должны записать: £ = 2 ± a » i Ч ^ Ч ' 1%1 (**) Переставим теперь в каждом произведении а а^.-.а^ множители таким образом, чтобы в них вторые индексы шли в порядке возрастания. Конечно, при этом расположение первых. индексов нарушится, и мы получим запись того же произведения в виде aj . . . а „. Чётность перестановки j / , j будет той же, что и чётность перестановки k k так как при проделанной выше операции приведения вторых индексов к нор­ мальному расположению мы должны выполнить столько же транс­ позиций первых индексов, сколько их было выполнено над вто­ рыми. Таким образом, мы обнаружили, что член zb a а . ... a суммы (**) попросту совпадает с членом суммы (*), полученным перестановкой множителей. Но так как это совпадение имеет место для каждого члена, то сумма (**) равна сумме (*), что и нужно. Доказанное свойство определителя показывает равноправность его столбцов и строк. Отсюда следует, что те свойства, котох 2 уя u 2 n u if ik 2С nk