* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 27 зицни чётность перестановки менялась на противоположную, то в силу н е ч ё т н о с т и числа 2т-f-1 чётность полученной после пере­ мены мест указанных элементов перестановки будет п р о т и в о ­ п о л о ж н а чётности данной. Применим изложенные соображения для получения выражения определителя произвольного порядка, предположив пока, что опре­ делитель [т. е. функция, удовлетворяющая условиям А), Б) и В) оп­ ределения § 2J существует. Рассмотрим, прежде всего, частный случай: \e J%9 e \, Jn (1) т. е. случай, когда определитель составлен из базисных векторов е , . -., е . Здесь ясно, что значение будет равно нулю, коль скоро хотя бы два из векторов e,. e , . . . e совпадают [в силу свой¬ ства Б)]. Таким образом, остаётся рассмотреть только значение определителя (1), когда все векторы e различны. Но тогда ряд векторов f/p #/ * является п е р е с т а н о в к о й векторов е е , . . . , £ „ , а поэтому рядом последовательных транспозиций его можно обратить в ряд е е , е . При этом данный определитель обратится в определитель \е е , . . . , е \, равный 1, в силу усло­ вия В). Учитывая теперь, что при каждой транспозиции входящих в определитель векторов определитель только меняет знак (см. § 3), мы получаем следующий результат: Определитель \ е^,... |, в котором все векторы е ^е^ ... е - различны, равен - [ - 1 или — 1 , смотря потому, является ли перестановка ej , е^,..., ej векторов е , е , . . е чётной или нечётной. Если два из векторов еу ,..., совпадают, то значение определителя равно нулю. Конечно, чётность перестановки e , ej , ... e рассматриваемых векторов е e е совпадает с чётностью перестановки их индек­ се» j» U • • • . Л Пусть теперь даны произвольные векторы а , # , ..., а . Их координаты целесообразно обозначать ещё одним индексом, поме­ щаемым перед номером вектора. Так, вторая координата третьего вектора будет обозначаться а. , четвёртая координата первого век­ тора будет a и т. д. Таким образом, х п t io t f Jft 2 и в и 2 п и 2 п } 9 у x х 2 п 2 Jt 2 t in х> 2 t п 11 х 2 п 23 kX