* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
28
ВЕКТОРНЫЕ
ПРОСТРАНСТВА
И ЛИНЕЙНЫЕ
ПРЕОБРАЭОВ\НИЯ
Эти векторы, как однажды было замечено, выражаются через век торы е , е , . . . , е так:
х 2 п
а = еа
х х
хх
-f- е а
2
2Х
+ ...-(+ - -. +
п
ea
n
nU
а = еа
п х
Хп
+ еа
2 2
2п
еа .
п пп
Поэтому определитель \а , а , дующим образом:
х
а \ может быть переписан сле
I Wii
+
- • •+
e
n nV
a
e
l li +
a
•••+
е п*
п
а
• • • . 1 \п
е
а
+
•••+
е
п пп
а
I-
( )
2
Используя указанную в § 3 возможность оперирования с опре делителем как со своеобразным «произведением», можем переписать это выражение в виде \a
Xi
а,
2
a\ = ^ \ e
n
J i t
е^ ...,
9
e \a
!n
a JxX
i %-^i^
x
где стоящая справа сумма распространяется на в с е комбинации индексов j , Л , . . . , / . Однако в силу сделанного выше замечания определители |ву , е^ , j \> ор хотя бы два индекса h> /«»•••• Jn совпадают, равны нулю. Поэтому среди членов в пра вой части остаются только те, в которых все эти индексы j раз личны, причём стоящие там определители ej е^ ..., су | равны - ь 1. Поэтому мы окончательно имеем выражение
x л e в к о т ы х 9 n 1 9 9
\a
Xt
а
29
..., а | = ^ ± a
п
Jit
а
у $ 2
... д
/ я Я >
(3)
в котором знак-(-приписывается тем членам, у которых переста новка индексов j у" , . . . , j чётная, а знак—приписывается членам, у которых эта перестановка нечётная. Ясно, что число членов в сумме (3) равно числу различных перестановок из п элементов, т. е. равно п\ То, что наши рассуждения приводят к совершенно однозначному выражению, позволяет сформулировать следующую теорему: Если существует функция а, а а \ от п п-мерных числовых векторов, удовлетворяющая условиям А), Б), В) нашего определения, то её значения определяются выражением (3). Другими словами, требования А), Б), В) о д н о з н а ч н о опреде ляют нашу функцию. Естественно, возникает вопрос о том, насколько эта функция будет определена, если некоторые из указанных требований отбро сить. Оказывается, что в таком случае однозначность уже не будет иметь места. Особенно интересен результат, который получается при отбрасывании условия В). Так как этот результат нам будет полезен в дальнейшем, мы его сформулируем и докажем.
t 9
2
n
х
2
9
п
