* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

18 ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА И ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 1) Если значение аргумента умножить на какое-либо число, то новое значение функции получается из первоначального умно­ жением на это же число. 2) Если значение аргумента равно некоторой сумме, то зна­ чение функции равно сумме её значений, получаемых при значе­ ниях аргумента, равных отдельным слагаемым. Говоря о линейности по каждому аргументу, мы выражаем то обстоятельство, что свойства 1) и 2) имеют место в применении к лю­ бому из двух аргументов нашей функции. Кроме линейности, определитель обладает ещё двумя свойствами: Б) Если два вектора, из которых составлен определитель, равны между собою, то значение определителя равно нулю. В) Определитель, составленный из базисных векторов, т. е. из векторов с координатами [ \ W и ( VI | (в этом порядке), равен единице. Наличие всех этих свойств проверяется непосредственным под­ счётом. Их можно также получить геометрически. Для примера огра­ ничимся алгебраической проверкой второй половины свойства А: а, Ъ\ а Ъ" 4_ а, Ъ\ а Ь'ъ х % § 2. Числовые векторы. Определители любого порядка Теперь естественно посмотреть, как можно применить сказанное в предыдущем параграфе к решению и исследованию систем боль­ шего числа уравнений первой степени с большим числом неизвест­ ных. Достаточно написать такую систему хотя бы с тремя неиз­ вестными, чтобы усмотреть, что коэффициенты уравнений в этом случае группируются в столбцы, состоящие из трёх (или большего числа) чисел. Это делает невозможным в случае, если столбцы со­ стоят более, чем из трёх чисел истолковать их как столбцы коор­ динат вектора в обычном геометрическом смысле, причём такая трудность усугубляется ещё и тем, что иногда приходится рассмат­ ривать системы уравнений с комплексными коэффициентами: ведь невозможно представить себе вектор, координаты которого ком­ плексны. Все эти затруднения, однако, можно обойти следующим путём, идея которого оказывается очень плодотворной и часто применяется в самых различных математических дисциплинах: элементарное по­ нятие вектора можно обобщить так, что указанные выше трудности исчезнут сами собой, и в то же время существенные свойства век­ торов будут сохранены. К этому нужно добавить ещё и то, что сама геометрическая терминология будет подсказывать нам эти свойства, когда мы их будем разыскивать.