* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 17 лённый зкгк: площадь параллелограмма, построенного на векторах а и Ь, обычно считается положительной, если при обходе контура параллелограмма, начиная с его стороны а (в её направлении), об­ ход совершается в ту же сторону, что и при обходе параллело­ грамма, построенного на векторах е и е , начиная со стороны е . Сделав несколько чертежей, аналогичных рис. 5, читатель без труда убедится, что определённый так знак площади всегда совпадает со знаком выражения a b%— ajb . Заметим, что идея снабжать площади фигур определённым зна­ ком, в зависимости от направления обхода, применяется не только к параллелограммам, но и оказывается полезной в целом ряде вопро­ сов, позволяя формулировать результаты наиболее общим и окон­ чательным образом. Выражение вида а Ь*— аф называется определителем второю порядка и обозначается так: а, Ъ х 2 х x x х х х Этим обозначением подчёркивается, что наше выражение является функцией столбцов, состоящих из координат векторов а и Ь. Обра­ щение этого выражения в нуль, как легко усмотреть из преды­ дущего, указывает на то, что векторы а и b параллельны. Если а Ь — аф фО, то решение системы (1) даётся формулами х % х а, х = а, 2 ; с b. вытекающими из равенств (4) и (4')- Из выясненного нами геомет­ рического смысла определителя вытекает, что эти формулы выра­ жают в точности то же самое, что и формулы (3) и (3'). Для дальнейшего нам понадобятся некоторые свойства опреде­ лителей. При этом будет удобнее пользоваться ещё более сокра, а Ь щёнными обозначениями: мы будем обозначать определитель 2 х у у= а, ь\ а (5) просто так: | a, b \, явно рассматривая его как функцию двух векторов, А) Определитель есть функция, линейная по каждому аргу­ менту. При этом под линейностью понимают наличие двух следующих свойств *): *) Термин «линейный» связан с тем обстоятельством, что этим свойством обладает «линейная» функция f(x) — kx, где k — постоянное, В этом случае из правил действий над числами следует непосредственно, что J (х-[-у) = = fe(x+_y)=/(x)+/(y) и f(mx)=m/(x), т. е. что имеют место свойства 1) и 2), формулируемые ниже. 2 Опцинлопе пп, к н . 2 .