* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

412 СЧЁТ И СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ ность 5,5, а средняя квадратическая только 0,626 (единицы разряда А-й значащей цифры), то в подавляющем большинстве случаев фак­ тическая погрешность должна быть очень небольшой и лишь в ред­ ких случаях приближаться к предельной. Естественно, возникает желание установить более точно картину распределения погреш­ ностей, т. е. выяснить, как часто встречаются погрешности, заклю­ чённые в определённых интервалах. Решение этой задачи требует несколько углублённых сведений по теории вероятностей, и мы ограничимся ссылками на книгу акад. Крылова [ ] , где эта задача решена для суммы (стр. 195—204). Применяя формулы, приведённые у акад. Крылова, к сумме 20 сла­ гаемых, полученных округлением до одного и того же десятичного знака произвольных точных чисел, получаем результаты, указанные выше (на стр. 406): погрешность, не превосходящая одной единицы разряда этого десятичного знака, получается в 56,14% всех' слу­ чаев, погрешность от одной до двух единиц—в 31,72°/ всех случаев, от двух до трёх е д и н и ц — в 10,13%, Р ^ Д ° четырёх е д и н и ц — в 1,82%, от четырёх до пяти единиц—в 0,18%, а от пяти до 10 единиц — только в 0 , 0 1 % всех случаев, т. е. в среднем один раз на 10 000 случаев сложения; погрешность, превосходя­ щая 10, здесь невозможна. Рассматривая произведение двух /е-значных приближённых чисел, полученных посредством округления до k-й значащей цифры произвольных точных чисел: имеем результат с по­ грешностью, не превосходящей одной единицы разряда k-Pi знача­ щей цифры, в 91,51% всех случаев, с погрешностью от одной до двух единиц—в 5,87%, от двух до трёх единиц — в 2,09%, от трёх до четырёх единиц — в 0,47%, от четырёх до пяти с поло­ виной е д и н и ц — в 0,06% всех случаев; погрешность в 5,5°/ — пре­ дельная. 1 0 0 о т Т Х 0 Нетрудно поставить опыт, подтверждающий правильность рас­ чёта. Согласие между опытом и теорией тем больше, чем больше рассмотрено случаев умножения. При коллективной работе группы в 20—30 человек проведение такого опыта займёт всего 15—20 ми­ нут. Пусть каждый участник возьмёт несколько пар совершенно произвольных трёхзначных чисел и перемножит числа каждой пары, а затем округлит взятые числа до двух значащих цифр и вновь перемножит эти уже округлённые числа каждой пары. Поставив знаки дробности во взятых числах так, чтобы произведения содер­ жали по две цифры левее запятой, находим разности произведений неокруглённых и округлённых чисел каждой пары. Например, берём числа 492 и 927, произведение которых 456 084, и после их округ­ ления до двух значащих цифр получаем числа 49 и 93, произведе­ ние которых 4557. Поставив в каждом сомножителе запятую после первой цифры, имеем: 4,92 . 9,27 = 45,6084 и 4,9 . 9,3 = 4 5 , 5 7 . Здесь разница между произведениями точных и приближённых сомножи­ телей составляет 0,0384 (единицы разряда второй значащей цифры)-