* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

402 СЧЁТ И СРЕДСТВА ВЫЧИСЛЕНИЙ ближённых чисел а и Ь. Согласпо сказанному выше имеем: 100^fls^999; 1,00^^^9,99; |а | ^ 0 , 5 ; |р|<0,005. Надо дать оцепку разности ху— а& = д З - | - + <Ф в единицах разряда третьей значащей цифры произведения ab. Имеем: | у — ab I ^ 0,005 а + 0,5 b + 0,0025 Х или I Ху — ab К 0,005 (а +100 Ь) + 0,0025. Рассмотрим порозпь случаи, когда произведение ab имеет 1) три и 2) че­ тыре цифры до знака дробности. Неравенство 100 • 1,00^ а £ ^ 9 9 9 • 9,99 показывает, что только эти два случая и возможны. В нервом случае ab^ 999,99; 1 0 0 £ ^ где р = 99999, а потому а л + 1 0 0 * < с + *~. J? Дифференцируя функцию о 4 * ^ по е. убеждаемся, что при непрерыв­ ном изменении а от а = 100 до а = 999 опа сначала убывает (от значения 1099,99 при а =100 до значепия 2р = 632,4... при о=р=ь316,2...), потом 99 \ от значения 2р при а—рло значения 1099 + ggg при а = 9991. Но, 9 ( принимая во внимание, что сумма e-f- 1С0& принимает при сделанных пред­ положениях только целые значения, заключаем, что наибольшее возможное сё значение есть 1099, а потому I ху — ab\ ^ 0,005 • 1099 + 0,0025 = 5,4975 < 5,5, что и доказывает первую часть теоремы для случая, когда произведение имеет три значащие цифры до знака дробности. Во втором случае, когда произведение ab имеет не три, а четыре цифры до знака дробности, наибольшее возможное значение его погрешности вычи­ сляется гораздо проще. Действительно, теперь \xy — ab\^ 0,005 • 999 + 0,5 - 9,99 + 0,0025 = 9,9925 < 10. При четырёх значащих цифрах до знака дробности третья значащая цифра есть цифра десятков, и у пас, следовательно, доказано, что число \ху — ab\ меньше одной единицы разряда третьей значащей цифры произведения. Пер­ вая часть теоремы тем самым доказана и для второго случая. Если один из приближённых сомножителей имеет А = 3 точных знача­ щих цифры, другой £ - | - 1 4 » то, рассуждая по предыдущему, имеем: = 100s£flag999; 1,000^^9,999; | о | ^ 0 , 5 ; |р 1^0,0005; I ху — ab | г £ 0,0005 а + 0J5 b + 0,00025 = 0,0005 {а +1000 Ь) + 0,00025. Если произведение ab имеет три цифры левее запятой, то а * - ^ 999,999; 1 0 0 0 * г £ ^ , где р» = 999999, а потому а + 1ОО0Ь^а + £ . а 1 1 Эта последняя сумма при изменении а от 100 до 999 только убывает, так как её минимум достигается при а = р = 999,99..., и следовательно, паи-