* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

УЧЁТ ПОГРЕШНОСТЕЙ 403 большее возможное её значение есть 100 + 9999,99= 10099,9...; сумма же а + 1000 6, принимающая только целые значения, пе может превзойти числа 10099. Отсюда заключаем, что | ху — ab \ 0,0005 - 10 099 + 0,00025 = 5,04975 < 5,05. Если же произведение ab имеет до запятой четыре цифры, то \xy — ab\^ 0,4995 + 4,9995 + 0,00025 = 5,49925 < 5,5 или 0,55'единицы разряда третьей значашей цифры. Тем самым доказала н вторая Часть теоремы. Переходя к третьей её части, имеем: • х = а + а; 1 0 0 а 9 9 9 ; | а | ^ 0 , 5 ; y = b;l^b<\0; \Ху— ab\s£0,5b^5. Когда произведение содержит три значащие цифры левее знака дробности, его погрешность пе больше пяти единиц разряда третьей значащей цифры, а когда четыре,- т. е. когда третья значащая цифра есть цифра десятков, то не больше 0,5 единицы разряда третьей значащей цифры. Теорема доказана полностью. Основываясь на формулированной выше теореме, делаем прак­ тически важные заключения. Если один из сомножителей — прибли­ жённое число с к точными значащими цифрами, а другой сомножи­ тель не менее точен, т. е. является либо приближённым числом, имеющим тоже к или больше точных значащих цифр, либо точным, то в произведении нет смысла сохранять больше чем k значащих цифр: уже k-я значащая цифра сомнительна. Возникает даже вопрос о том, стоит ли сохранять эту k-ю значащую цифру (этот вопрос будет решён положительно в §§ 11 и 12). Далее, имея два сомно­ жителя с разным числом значащих цифр, без ущерба для точности результата можно предварительно округлить более точный сомно­ житель так, чтобы в нём было только одной, значащей цифрой больше, чем в менее точном, имеющем к точных значащих цифр: предельная погрешность в результате такого округления едва ме­ няется, а именно, растёт самое большее с 5 до 5,05 единицы раз­ ряда А-й значащей цифры произведения. Но эту лишнюю («запасную») цифру в более точном сомножителе сохранять стоит, так как её отбрасывание вызывает заметное увеличение предельной погреш­ ности произведения, а именно, с 5,05 до 5,5 единицы А-й знача­ щей цифры. Исследуя аналогичным образом частное, приходим к следующему предложению: , Т е о р е м а 2. Частное от деления двух приближённых чисел, данных каждое с к точными значащими цифрами, имеет пре­ дельную погрешность, равную 10 единицам k-й значащей цифры; это значение предельной погрешности снижается до 5,5 единицы, когда один из компонентов имеет k точных значащих цифр, другой k-\-\ цифру; до 6,22 единицы, когда делимое—число точное, а делитель имеет k точных значащих цифр, и до 5 еди26*