* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

УЧЁТ ПОГРЕШНОСТЕЙ 41 0 том округления некоторого точного числа до разряда тысяч, лучше писать в виде 347 • 10* или 3,47 - 10 и т. д.). Необходимость округления, указываемого настоящим правилом, становится очевидной, если рассмотреть какой-либо конкретный пример, заменяя особыми знаками, например знаками вопроса, неиз­ вестные; цифры приближённых данных. Пусть, например, требуется найти сумму трёх указанных ниже приближённых слагаемых, из которых первое является результатом округления неизвестного истинного значения до трёх десятичных знаков, второе — до 1, третье — до 2. Производя сложение обычным порядком так, как это делается в случае точных компонентов, мы получаем число 87,943, в котором цифры сотых и тысячных никакого доверия не заслуживают и должны быть отброшены, что и рекомендует сделать правило I* 0,423?.. + 72,8???.. 14,72??.^ "87,943?.. 8^9 е В настоящем примере истинная абсолютная погрешность суммы может лишь незначительно превзойти пол-единицы разряда послед­ ней цифры, но легко указать случаи, когда она будет составлять несколько единиц этого разряда. Заслуживает ли доверия эта последняя цифра? Этот вопрос будет рассмотрен в §§ 11 и 12. Переходя к умножению, формулируем следующую теорему о предельной погрешности: Т е о р е м а 1. Произведение двух приближённых чисел, имею­ щих каждое k точных значащих цифр, имеет предельную погреш­ ность, равную б,б единицы разряда к-й значащей цифры; это значение предельной погрешности снижается до 5,05 для случая, когда один из приближённых сомножителей имеет k точных значащих цифр, другой A - f - 1 цифру, и до б, когда один из сомножителей имеет k точных значащих цифр, другой же точен. Вот пример случая, когда истинная абсолютная погрешность произведения близка к указанной в теореме предельной погрешно­ сти: х= 100,499, у=9,99Ш,ху= 1004,486..., с = 100, £ = 9,99, ab = 999. Здесь произведение приближённых трёхзначных чисел а и b отличается от произведения точных чисел х и у на 5,486... еди­ ниц разряда 3-й значащей цифры. Приводим доказательство теоремы, ограничиваясь случаем 6 = 3 (легко видеть, что для произвольного значения k это доказательство сохраняет силу, требуя лишь несколько более длинной записи). Положепие знака дробности в данных безразлично; будем для определённости считать запятую поставлен­ ной в первом из данных после третьей значащей цифры, во втором — после первой. Пусть точные зпачения сомножителей вид суть х и у, так что х = а-\-а у = Ь-{-$, где а и ? — истинные абсолютные погрешности при9 Энциклопедии, icu. 1