* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА 351 следовательно, 0 < ^ а < [ 1 , и а не может быть целым числом, что и доказывает иррациональность числа е. Доказательство иррациональности числа тс значительно сложнее: для тс мы не знаем уже столь простого и арифметически обозримого изображающего аппарата, каким служит ряд (8) для числа е. Исто­ рически иррациональность числа тс была впервые обнаружена, когда удалось найти разложение числа ^- в цепную дробь; так как эта дробь оказалась бесконечной, то число ~ — а следовательно, и тс— иррационально. Однако несравненно труднее было решить вопрос о том, является ли каждое из чисел е и я алгебраическим или трансцендентным. Трансцендентность числа е была впервые доказана Эрмитом в 1873 г. сложным аналитическим методом, основанным на рассмотрении не­ которых определённых интегралов с бесконечными пределами. Ввиду той фундаментальнрй роли, которую играет число е в дифферен­ циальном и интегральном исчислениях, привлечение интегралов к ре­ шению вопроса об арифметической природе этого числа отнюдь нельзя считать искусственным. Девять лет спустя Линдеман, разви­ вая далее метод Эрмита, доказал трансцендентность числа тс. Под­ ход к этому числу методом Эрмита мог бы показаться странным, так как числа £ и тс по своему первоначальному определению ничем друг с другом не связаны; они для арифметики как бы пришельцы из разных стран. Однако замечательное, играющее выдающуюся роль в анализе соотношение e =—1 тесно связывает их между собою и позволяет в принципе любой метод, созданный для изучения одного из них, применить и к другому; этой связью и воспользовался Лин­ деман в своих исследованиях. После того как таким образом была установлена трансцендент­ ность двух важнейших классических постоянных, в течение долгого времени в этой области не удавалось создать ничего нового. Насколько трудна и бедна сколько-нибудь общими методами эта проблематика, можно видеть из того, что мы до сих пор ничего не знаем об арифметической природе таких чисел, как £-|-тс, е — тс или ея; не известно даже, будут ли они иррациональными. Гильберт в 1907 г. значительно* упростил доказательства Эрмита и Линдемана для чи­ сел е и я; Гурвицу удалось найти доказательства, вообще свобод­ ные от интегралов (но существенно пользующиеся дифференциаль­ ным исчислением). Но все эти исследования, чрезвычайно глубокие и в то же время изящные, всё же не были методологически силь­ нее прежних — не позволяли получить новых результатов. На международном математическом конгрессе 1900 г. Гильберт в своём знаменитом докладе об актуальных математических пробле­ мах современности обратил внимание на то, что мы, успешно спра­ вившись с такими со стороны пришедшими и арифметику числами, Ki