* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ ЧИСЛА 347 Пусть теперь снова произвольно заданы Х^>0 и натуральное число л; пусть k^>n и столь велико, что — <^Х; тогда, так как а А принадлежит отрезку Д , мы имеем: Рн Ч к 1 _ 9ft 1 4k 4k 1 X 4k Так как л и Х^>0 произвольны, то в силу теоремы Лиувилля число а траг.сцендентно, § 16. Метод Кантора Спустя 20—25 лет после работ Лиувилля стали появляться ис­ следования Георга Кантора, положившие начало новой важнейшей ветви математической науки — теории множеств. Одним из первых плодов этих исследований явилось новое, глубоко оригинальное до­ казательство существования трансцендентных чисел. Это был обра­ зец такого математического рассуждения, какое до тех пор ещё никогда не применялось в науке, а в дальнейшем послужило прото­ типом для целого ряда других плодотворных конструкций. Кантор впервые обратил серьёзное внимание на тот факт, что все алгебраические числа м о ж н о п е р е с ч и т а т ь . Что это значит? Это значит, как и обычно, что можно каждому алгебраическому числу придать определённый, одному ему приписанный номер. По­ нятно, что никакого конечного числа номеров для этой цели нехва­ тит, потому что алгебраических чисел — бесконечное множество (к ним принадлежат все рациональные и, в частности, все натураль­ ные числа). Но в нашем распоряжении находится безграничный ряд номеров — все натуральные числа. И вот оказывается, что с помощью этого бесконечного ряда натуральных номеров можно перенумеровать все алгебраические числа, подобно тому как с по­ мощью первых десяти натуральных чисел можно перенумеровать все пальцы рук. Но не тривиально ли это? Натуральных чисел бес­ конечно много, а имея неограниченный запас номеров, не можем ли мы с их помощью перенумеровать предметы любого множества? Кантор показал (и это, быть может, самый блестящий из его пер­ вых результате), что это не так: множество С всех действительных чисел не может быть перенумеровано даже с помощью всего бес­ конечного ряда'натуральных чисел. Отсюда уже прямо следует су­ ществование трансцендентных чисел: если бы их не было, то мно­ жество С совпадало бы со множеством А всех алгебраических чи­ сел и, следовательно, могло бы быть перенумеровано. Посмотрим теперь, как можно перенумеровать все алгебраиче­ ские числа. Каждое алгебраическое число есть корень некоторого алгебраического {уравнения вида (3), причём с , а . . . , а — целые 0 и л