* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

338 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ (среди этих дробных частей могут быть и равные между собою; это замечание, впрочем, относится и к рассмотренному выше про­ стейшему случаю; там, как и тут, оно ничем не мешает строгости доказательства). Разобьём теперь отрезок (0, 1) на t равных отрезков (длины n - ^ - ) , причём снова будем считать левый конец принадлежащим, а правый — не принадлежащим каждому такому частичному отрезку. Снова каждая из наших дробных частей (14) принадлежит в точно­ сти одному из частичных отрезков, и снова число ( f - f - l ) дробных частей больше чем число f отрезков. Поэтому снова найдётся от­ резок, содержащий по меньшей мере две из дробных частей (14). Пусть эти две дробные части получены для значений переменных f t 1 9 9 9 9 9 9 9 п 9 9 Х\ 9 Х% • • • , Xf\ И л Х\ , Х'2 , • • •, Х . Полагая хГ-х',= Х1 (1 = £ i =Sп), [J*<''«/] -[2 t п *'л]=У> мы, как и ранее, получаем: |2*А—34<т!г, причём | j t r | ^ ^ и, разумеется, не все x f равны нулю (что удобно л выражать неравенством 2 •*? ^> О)- Таким образом, мы приходим к следующей общей теореме, также установленной Дирихле: Т е о р е м а 8. Пусть a a , . . . , a„ — любые действительные чи­ сла и t — любое натуральное число; тогда существуют тате целые числа х х , -.., х у что l9 s Х9 2 п9 9 л л Бели обозначить через х наибольшее из чисел \х \ |дг ',... \х \з то из теоремы 8, очевидно, вытекает С л е д с т в и е . В условиях теоремы 8 существует бесчислен­ ное множество таких систем значений x д г , . . . , х у что г 9 а п l9 2 п9 9 л |2 * * ~ \ ХА—у\<-эгЭто важное неравенство, обобщающее хорошо известное из тео­ рии цепных дробей неравенство