* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЦЕПНЫЕ ДРОБИ Н ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ 337 пусть — подходящие дроби числа а; выберем (что всегда воз­ тогда, как известно, (Яп«')> можно) п так, чтобы Яп^^^Япли I — Р*\< -~<т что и доказывает теорему 7. Однако главное преимущество метода Дирихле состоит не в его элементарности (хотя и этот момент, конечно, достаточно важен). Его мощность встаёт в полный рост тогда, когда мы от простейшего уравнения (11) переходим к более сложным и общим задачам. Дирихле обратил внимание на то, что задача, которую мы толь­ ко что решили для уравнения (11), может быть в точности т а к ж е поставлена и для более общего уравнения х л 2 п - f лг се + . . . + 2 а х а —у=0, п п и 9 п 2 где ад, а , а — данные действительные числа, а х . . . х ,у — целочисленные переменные, причём тривиальное решение А Г , = А : = = .=х =у=0 также, разумеется, раз навсегда исключается. Можно ли надлежащим (нетривиальным) выбором целых x у сде­ лать абсолютную величину разности вя п i% л сколь угодно малой и, если можно, то сколь большими придётся для этого выбирать числа x \ (а следовательно, и \у\)? Было бы безнадёжно пытаться использовать для решения этой задачи аппа­ рат цепных дробей: как показала история развития этой области математики, не существует (и, повидимому, не может существовать) такого удовлетворительного во всех отношениях алгорифма для совместного арифметического исследования нескольких иррашюнальностей а,, а , . . . , а , какой мы имеем для случая одной ирра­ циональности а в лице цепных дробей. Напротив, метод Дирихле, как мы сейчас покажем, применяется к новой, общей задаче с та­ кой же лёгкостью и приводит к столь же простому её решению, как и в случае рассмотренной нами выше простейшей задачи. Заставим переменные х J C , х пробегать независимо друг от друга ряд чисел 0, 1 , . . . , t (где t — любое данное натуральное число). Очевидно, мы получим всего (t-\-l) систем значений (x t 2 л Хш 2 п n i9 л j t o , . . , i х ), а следовательно, столько же значений суммы Т ^ А столько же 'дробных частей *=i п и 2*А-[2*А] 22 Энциклопедия, кн. 1. < > 14