* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ 333 Если же с < ^ ^ = , то можно сло а, что неравенству найти та/сое иррациональное чи­ будет дробей удовлетворять ~. не более конечного числа рациональных Д о к а з а т е л ь с т в о . Для доказательства первого утверждения теоремы 6 нам понадобится следующая Лемма. Из двух отношений Яп 1 и Яп+t по меньшей мере одно превосходит число <у, Яп . у ) в силу 1 -|-^- = у следоТ 1 1 В самом деле, из вало бы: ^^«^ Яп+i »>£? «^+&> +т-* этим лемма доказана. Положим теперь для любого / ^ 1 где а М — [ м1 а а №> а М> • • •] имеет тот же смысл, что и в главе IV (см. стр. 318). Как мы там видели (стр. 320), 1 1 Pt Я1 поэтому наше утверждение будет доказано, если покажем, что по меньшей мере одно из трёх чисел ф , ф „ превосходит | / б . л +2 Так как ^ = a w + -J— и ^ и + = a + /+1 + ^ i , то (,о, „ _ „ Ь _ Л - * 1 . В силу доказанной нами леммы из двух отношений Яп и Япи по меньшей мере одно превосходит у. Пусть для 2з±±-^>у Так как функция н + Яп ** определённости возрастает при н ] > 1 , то в слу- чае a^^s^**- мы имеем: ) Разумеется, знаки равенства здесь иевозможны ввиду иррационально­ сти числа г* 1