* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ЦЕПНЫЕ ДРОБИ И ДИОФАНТОВЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ 327 гаемых правой части последнего равенства имеют один и тот же знак, вследствие чего \да—р\ = \х\-\д а—р \ л п + = \у\.\д а—р \. п+1 ш Отсюда мы имеем неравенство (4) во всех случаях, кроме одного только исключения: если д а—Pn+i ®> I #1 = 1, то п+г qa—p\ = \q a—p \. n n При этом уравнения (5) дают обязательно: Итак, мы приходим к выводу, что при 0<^д<^д \qa—p\^\q a— n пН всегда р \; п при этом знак равенства возможен только в случае, когда или в случае, когда « = ^ . в этом последнем случае а ^ , ной цепной дроби 0 q=q n9 Я=9** — 9* = (а # — 1)д + л я дл л будучи последним элементом конеч­ [а ; Of, Чп' Таким образом, мы находим: п п \q*-p\>\q *-p \ n n <0\ka —1\. Неравенство (6) показывает, что всякая подходящая дробь числа a служит для него наилучшим приближением второго рода; слова «вто­ рого рода» имеют целью указать, что здесь близость дроби к числу а мы оцениваем разностью \ka — / | в противоположность приближениям «первого рода», о которых говорит теорема 1, и где близость оценивается разностью j a — . * Таким образом, подходящие дроби оказываются «наилучшими приближениями» как в том, так и в другом смысле. Замечательно, однако, что в случае приближений второго рода подходящие дроби обладают этим свойством, так сказать, монопольно: всякое наилуч­ шее приближение второго рода есть подходящая дробь.