* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

326 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ В этом случае указанный выше переход оказывается вполне три* виальным. Однако история развития всего этого учения показала, что систематическое использование величины \да—р\ для оценки приближения числа а рациональной дробью -~ имеет заметные пре­ имущества перед применением с этой целью величины | а — - ~ | . С одной стороны, законы приближения часто находят себе при этом более цельное и законченное выражение (пример такого слу­ чая мы сейчас увидим); с другой стороны (и это особенно важно), этот путь оказывается чрезвычайно богатым расширяющими возмож­ ностями: с предельной естественностью он ведёт к образованию новых понятий и постановке новых задач, в значительной степени обогащающих собою эту область науки. В дальнейшем мы будем иметь случай указать некоторые примеры и в этом направлении. Попытаемся, прежде всего, рассмотреть с этой новой точки зрения „ту задачу, решение которой в нашей прежней трактовке даётся теоремой 1. Пусть — — подходящая дробь числа а и пусть Яп 0<^д<^д ; п можно ли тогда утверждать, что при любом целом р \д*— р\>\дп*—Рп\? (4) Для решения этого вопроса мы рассмотрим систему двух урав­ нений с неизвестными х и у; так как р д — g p s=±l то системе этой удовлетворяет единственная пара чисел (х у) и эти числа—• целые. Несколько расширяя наши предпосылки, мы допустим, что q есть любое натуральное число, меньшее, чем д и отличное от д ; с другой стороны, мы, очевидно, можем, не ограничивая общности п п+1 tl Mt 9 9 п+1 п поставленной задачи, допустить, что дробь у несократима. Тогда легко убедиться, что определяемые системой (5) целые числа х и у будут иметь противоположные знаки, т. е. ху<^0. В самом деле, если ху^>0 или л г = 0 , то второе из уравнений (5) даёт д^д^и что неверно; если же .у—-0, то мы из этого же уравнения полу­ чаем д=д , что также исключено (разумеется, в этом случае х—1 п 9 так как иначе дробь не была бы несократимой). Итак, ху<^0. Но из уравнений (5) следует: да—р=х п п (д а—р п п г п ) -f у п+1 (д а—р ). п+1 п+1 Так как числа д а—р и д + а—р в силу теоремы 7 главы IV имеют противоположные знаки, то из ху^О следует, что оба ела-