* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ СИСТЕМАТИЧЕСКИМИ ДРОБЯМИ 321 т. е. построенная нами бесконечная цепная дробь действительно представляет данное иррациональное число а. Общий вывод, к которому мы пришли, может быть формулиро­ ван в виде следующего основного предложения: Т е о р е м а 8. Каждое действительное число а единственным образом представляется цепною дробью; эта дробь конечна, если число а рационально, и бесконечна, если оно иррационально. При этом важно отметить, что проведённое нами доказательство носит вполне конструктивный характер, т. е. устанавливает не только самый факт существования представляющей данное число цепной дроби, но и метод, позволяющий с помощью весьма простого алгорифма последовательно найти все её элементы. Мы видим, что основной закон представления чисел цепными дробями, выражаемый теоремами 7 и 8, замечательно прост: каждому числу соответствует единственная дробь, каждой дроби — един­ ственное число; рациональным числам соответствуют конечные, иррациональным — бесконечные дроби. Как мы уже подчёркивали, такая стройность и простота обусловлены свойствами самого аппа­ рата и, прежде всего, — его «абсолютным» характером, не связан­ ным ни с какой определённой системой счисления. Независимо от введения элементов теории цепных дробей в наши школьные программы это учение даёт превосходный мате­ риал для кружковой и вообще внеклассной работы. В этом отно­ шении можно особенно рекомендовать содержание следующей главы 5. Опыт показывает, что цепные дроби и их использование для приближённого представления действительных чисел всегда привлекают внимание и интерес учащихся; в особенности это касается тех случаев, когда результаты формулируются в виде простых, законченных и эффектных Леорем, к тому же легко и изящно доказываемых, как это имеет место почти во всей пробле­ матике, связанной с представлением чисел цепными дробями. 21 Энциклопедия, кн. 1,