* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

308 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Это объясняется тем, что десятичные дроби изучаются в пятом классе, когда усвоение строгой теории систематических дробей по­ требовало бы навыков формального мышления, значительно пре­ восходящих возрастные возможности учащихся. Поэтому и учеб­ ники арифметики для средней школы либо вовсе не касаются этой теории, либо лишь на примерах, без общих рассуждений, устанав­ ливают её основные положения. А между тем учитель не может, конечно, уверенно вести преподавание учения о десятичных дробях, если ему самому теоретическая база этого учения не ясна во всех своих частях. Что касается цепных дробей, то в данный момент средняя школа совсем не включает их в свои программы. Однако это уче­ ние, будучи одним из самых живых и действенных арифметических завоеваний классической эпохи и притом таким, которое и до сих пор остаётся важнейшим вспомогательным орудием математического научного творчества, бесспорно должно стать достоянием каждого культурного математика. § 11. Систематические дроби Мы возьмём за основание системы счисления произвольное целое число & ^ > 1 ; мы будем, следовательно, говорить о представлении чисел А-ичными дробями. Как известно, в приложениях обычно выбирают ft = 10; но для построения теории совершенно безраз­ лично, какое число выбрано основанием системы счисления, и потому здесь у нас нет никаких причин фиксировать этот выбор. 6 качестве представляемого числа может фигурировать любое действительное число а. Только для того, чтобы технически немного упростить расчёты и их запись, мы будем всегда предполагать, что 0 ^ а < [ 1 . Таким образом, целые части наших А-ичных дробей мы всегда будем предполагать равными нулю; совершенно оче­ видно, что это не внесёт в наши рассуждения никаких существен­ ных ограничений и что добавление, в случае надобности, к нашим дробям тех или иных целых чисел не вызовет никаких добавочных затруднений. О п р е д е л е н и е 1. Числа0,1,2,..., k — 1 называются цифрами. О п р е д е л е н и е 2. Пусть дана бесконечная последовательность цифр а Тогда бесконечный и а, г а , ... Л (0^a <^k). n ряд называется k-ичною дробью (или просто дробью); из рассмотрения только такие последовательности, все а^ начиная с некоторого места, равны k — 1. исключаются в которых