* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки
Г Л А В А IV
ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ СИСТЕМАТИЧЕСКИМИ И ЦЕПНЫМИ ДРОБЯМИ § 10. Введение
Оба аппарата — систематические (в частности, десятичные) и цепные дроби — полностью осуществляют своё назначение лишь тогда, когда мы охватываем ими всю совокупность действи тельных (в том числе и иррациональных) чисел. В самом деле, для рациональных чисел простые (обыкновенные) дроби являются таким формальным аппаратом, который в большинстве встречающихся задач оказывается вполне удовлетворительным и лишь в отдельных случаях заставляет искать иных формальных приёмов исследования. Для иррациональных же чисел мы никакого аналогичного аппарата не имеем; для них весь арсенал формальных орудий исследования и оперирования впервые создаётся систематическими или цепными дробями. Как мы уже говорили, систематические дроби имеют своим главным преимуществом ту замечательную простоту, с какою они подвергаются основным арифметическим операциям. Но если мы ставим себе задачу исследовать арифметическую природу какоголибо числа, всё равно — рационального или иррационального, — то представлять его для этого в виде систематической (например, д е сятичной) дроби было бы нецелесообразно: чередование цифр в этой дроби характеризует собою не абсолютную природу дан ного числа, которая нас интересует, а лишь его взаимоотношение с выбранной системой счисления; достаточно вспомнить, что одно и то же число может изображаться в одной системе конечной, а в другой бесконечной систематической дробью. Напротив, алго рифм цепных дробей, не зависящий ни от какой системы счисления, даёт такое представление чисел, которое обусловлено исключи тельно собственной их арифметической природой и потому наилуч шим образом приспособлено к исследованию этой природы. Наша средняя школа, обучая детей действиям над десятичными дробями, почти не касается теоретических основ этого аппарата.
