* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

АЛГОРИФМ ЕВКЛИДА И ЦЕПНЫЕ ДРОБИ 305 дробями, которое равно . Мы приходим, таким образом, к предложению, играющему основную роль во всех вопросах при­ ближённого представления чисел. Т е о р е м а 3. \ а Pk Ь дk Теория цепных дробей исторически возникла из потребности приближённо представить дробь, числитель и знаменатель которой очень велики, другою дробью, у которой они значительно меньше. Творец теории цепных дробей Христиан Гюйгенс при построении модели солнечной системы с помощью набора зубчатых колёс встре­ тился со своеобразным затруднением: для того чтобы отношение времён оборота двух зацепляющихся зубчатых колёс равнялось от­ ношению времён оборота вокруг солнца двух изображаемых этими колёсами планет, надо, чтобы в том же отношении стояли и числа зубцов этих двух колёс. Однако отношение это выражается столь большими числами, что технически невозможно изготовить колёса с такими «астрономическими» числами зубцов. Поэтому возникает необходимость ограничиться приближённой моделью, выбирая числа зубцов' технически осуществимыми и вместе с тем так, чтобы отно­ шение этих чисел было, по возможности, близко к заданному от­ ношению очень больших чисел. Здесь и приходят на помощь цеп­ ные дроби. Пусть а и Ь — те большие числа, отношение которых мы хотим в порядке приближения заменить отношением меньших чисел end; для определённости допустим, что по техническим или иным условиям число d не должно превышать 100. Тогда мы представляем отношение £ в виде цепной дроби и вычисляем по­ следовательные подходящие дроби. Пусть при этом оказалось, что g ^100 но уже y ^ > 100. Тогда мы полагаем с=р d= q и теорема 3 позволяет нам просто и удобно оценить ту погреша с ность, которую мы сделаем, заменив отношение ^ отношением k 9 f t + J к9 k9 П р и м е р , а = 1 3 5 5 , & = 946. Мы находим: J = [ l ; 2, 3, 5, 8, 3], Рг _ 5 3 р _434 д 37' ft 303' р II1355 53 Ч%\\ 9^6 37 < ^ = Г . 2 П < ° > 4 ь г а Ь 0 0 0 1 Если бы мы хотели получить решение нашей задачи с помощью десятичных, а не цепных дробей, то для достижения такой точ­ ности нам пришлось бы взять дробь по меньшей мере .с четырьмя 20 Энциклопедия, кн. 1.