* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

АЛГОРИФМ ЕВКЛИДА И ЦЕПНЫЕ ДРОВи к 803 о т а * В этом и состоит главное значение рекуррентных формул (8), на которых строится вся теория цепных дробей. Теперь мы установим ряд важнейших свойств подходящих дро­ бей. Введём обозначение таким образом, все величины A имеют одно и то же абсолютное значение, а знаки их чередуются; замечая же, что в силу (7) ft мы приходим к следующему важному предложению: Т е о р е м а 1. Д = ( — 1)* ( 0 ^ * < л ) . Отсюда, прежде всего, вытекает несократимость всех подходя­ щих дробей. В самом деле, если бы р и q делились на-одно и то же число rf^>l, то, очевидно, на него делилось бы и A что не­ возможно в силу теоремы 1. Далее, если наша исходная дробь несократима, то а=р b=q и мы имеем: А к k fc9 п9 n9 Таким образом (уже в четвёртый раз), мы доказали теорему о том, что если числа а и Ъ взаимно просты, то уравнение ax-\-by= 9 9 1 имеет решения в целых х у на этот раз мы вместе с тем полу­ чили и такой метод отыскания этих решений, который на практике в большинстве случаев оказывается кратчайшим. Мы видим, что для этого надо разложить j в цепную дробь, и если а=р , п b=q то положить x = (—\f^ q _ y = (—l) p _ П р и м е р . Пусть а = 52, £ = 23; мы находим: n9 n X9 n x n v 1 = 2 + 6 = 2 + ' =2 в + з + -Я» JC=4, = 2 + у=—9, I 3 + -,- 3 + _9 . ~~ 4 ' ах + by = 1.