* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МЕТОД СРАВНЕНИЙ 289 делящихся на р) на JC, мы приходим к сравнению х =х (mod /?), р которое, конечно, также выполняется для всех упомянутых зна­ чений х; но оно тривиальным образом выполняется и для значений х делящихся на р. Таким образом, $ х =х р р (mod р) есть тождественное сравнение, выполняющееся для любого целого числа; иначе говоря, число х —х при любом целом х делится на р. Из этого, прежде всего, вытекает возможность при исследовании алгебраических сравнений по простому модулю р ограничиться сравнениями, степень которых не превосходит р — 1. В самом деле, если Р(х) есть любой многочлен степени ^р с целыми коэффи­ циентами, то при делении его на х — х частное Q(x) и остаток R (х) также будут многочленами с целыми коэффициентами. Мы будем при этом иметь: р Р(х) = — x)Q (х) + PJJC), и степень многочлена R(x) не превосходит р — 1. Так как х —^ = 0 (mod/?) тождественно, то всякое решение сравнения р Р(дг) = 0 (mod/?) будет также удовлетворять сравнению R(x)=0 (mod/?), и обратно. Таким образом, при исследовании решений каждое сравне­ ние с т е п е н и ^ / ? действительно может быть заменено равносильным ему сравнением степени <^р, причём новое сравнение находится по данному с помощью весьма элементарных алгебраических операций. Итак, пусть Р(лт) = 0 (mod/?) (16) — сравнение степени п<^р. Последний вопрос, который мы рас­ смотрим, состоит в том, как узнать, будет ли число решений этого сравнения равно п или меньше п (больше л оно, как мы уже знаем, быть не может). Прежде всего мы можем, не ограничивая общности нашей задачи, допустить, что коэффициент при х в многочлене Р(х) равен 1. В самом деле, этот коэффициент с во всяком случае не делится на р\ поэтому теория сравнений первой степени гарантирует нам существование такого числа а, что с а = 1 (mod /?). Заменяя тогда сравнение (16) равносильным ему сравнением п 0 0 aP(x) = 0 (mod/?), мы получим при JC* коэффициент а с , который сравним с единицей по модулю р и просто может быть заменён единицей. 0 19 Энциклопедия в к н . 1.