* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

290 ЭЛЕМЕНТЫ ТЯОРИИ ЧИСЕЛ Итак, мы можем допустить, что у многочлена Р (х) коэффициент старшего члена равен 1. Поэтому, деля х — х на Р{х\ мы полу» чим в частном и в остатке многочлены с целыми коэффициентами. Обозначим эти многочлены соответственно через М(х) и N(x) так что х?—х=Р (х) М (х) + N (х)\ р f очевидно, М(х) есть многочлен степени р — я , а степень много­ члена N(x) не превосходит я — 1 . Допустим теперь, что сравнение (16) имеет я решений. Так как сравнение х — х = 0 (mod р) выполняется тождественно, то все эти я решений удовлетворяют и сравнению р N(x)=x —х—P(x)M(x) p = 0 (mod/0; но если бы хотя один из коэффициентов многочлена N(x) не делился на /?, то N(x)=0 (mod/?) было бы сравнением степени < ^ я и не могло бы поэтому иметь п решений. Таким образом, все коэффи­ циенты многочлена N(x) должны делиться на /?. Пусть теперь, обратно, известно, что все коэффициенты много­ члена N(x) делятся на р, т. е. N(x) = 0 (mod/0 тождественно; тогда тождественно P(x)M(x)~0 (mod/?), (17) т. е. этому сравнению удовлетворяют все р классов по модулю /?. Но любое'решение сравнения (17) удовлетворяет, очевидно, по мень­ шей мере одному из сравнений P(x) = 0 (mod/?), M(x) = 0 (mod/?), так что сумма чисел решений этих двух сравнений не может быть меньше р; но из этих сравнений второе имеет не более р — п реше­ ний; отсюда и следует, что число решений сравнения (16) не может быть менее я и, значит, в точности равно я . Таким образом, мы приходим к следующему критерию: Т е о р е м а 8. Для того чтобы сравнение (16) степени п<^Р с коэффициентом 1 при старшем члене имело в точности я реше­ ний, необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты много¬ члена, получающегося в остатке при делении х —х на Р(х), делились на р. р