* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

МЕТОД СРАВНЕНИЙ 275 поэтому в силу теоремы 2 П^а-\-Ь-\-с-\-\-k-\-t (mod3) и (mod9), т. е. по модулям 3 и 9 каждое число сравнимо с суммой своих цифр. Но отсюда следует, что наибольший общий делитель с чис­ лом 3 (или 9) число п имеет тот же, что и сумма его цифр. В част­ ности, п делится на 3 (или 9) тогда и только тогда, если на это число делится сумма его цифр. Подобным же образом сравнение 10 = —-1 (mod 11) в силу теоремы 2 даёт: п = (— l) a + (— lf-*b + s — k 4 - 1 (mod 11), откуда непосредственно вытекает известный признак делимости на 11. Теорема 1, устанавливающая ничем не ограниченную возмож­ ность почленного сложения, вычитания и умножения сравнений, ничего не говорит нам о четвёртом арифметическом действии — делении. В частности, мы не знаем ещё, всегда ли возможно деле­ ние обеих частей сравнения на одно и то же число (при условии, конечно, что такое деление может быть выполнено без остатка). Мы не случайно отложили рассмотрение этого вопроса; дело в том, что здесь мы впервые встречаемся с таким положением, когда сра­ внения ведут себя несколько иначе, чем равенства; теперь мы должны подробно разобраться в этом вопросе. Прежде всего простые примеры легко показывают, что деление, о котором идёт речь, не всегда возможно. Так, 45 = 27 (mod 6); обе части сравнения делятся на 9; однако, выполняя это деление, мы пришли бы к неверному сравнению 5 = 3 (mod 6). Рассмотрим теперь вопрос в общем виде. Пусть a = b (mod a=da', b= dt'. те), (2) причём а и b делятся на одно и то же число d, так что Спрашивается, при каких условиях сравнение (2) можно «сократить» на d т. е. при каких условиях из (2) следует: y a' = b' (mod те)? Сравнение (2) означает, что разность а — b=d(a' — b') делится на те; при каких условиях из этого будет следовать, что и разность 18»