* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

274 откуда (a±a') ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ — (bzkb ) a±a' , = (a — b)±(a' = b±b' , — b')=m(q — q'), и следовательно, (mod/я). — b) = (aq - f b'q) m, r Далее, aa' — bb' = a (а' — b') •\-b (a и следовательно, aa' = bb" (mod m), что и требовалось доказать. П р и м е ч а н и е . В частности, к обеим частям сравнения можно прибавить одно и то же число, и обе части сравнения можно умно­ жить на одно и то же число. Мы доказали теорему 1 в предположении двух сравнений. Однако, разумеется, она автоматически распространяется от двух на три, от трёх на четыре и вообще от п на п -J- 1 сравнений, так что в силу принципа полной индукции мы можем считать её уста­ новленной для любого числа сравнений. С л е д с т в и е . Если a-=b (mod т), (2) то ==Ь (mod/я), к к а где к— любое натуральное число или нуль. Для доказательства достаточно почленно перемножить к тожде­ ственных между собою сравнений (2). Комбинируя друг с другом полученные нами до сих пор резуль­ таты, мы, очевидно, приходим к следующему важному выводу: Т е о р е м а 2. Пусть Р(х)— любой многочлен с целыми коэф­ фициентами. Тогда из х=у (mod т) следует: Р(х) = Р(у) (тойт). Это предложение представляет большой интерес и для школь­ ного курса арифметики, так как оно служит теоретическим осно­ ванием для вывода наиболее важных признаков делимости. Если в десятичной системе число п изображается, считая слева направо, цифрами а, Ь, с, . . . , к, /. то п=а Но • 10 + b • 10 - 4-е . l O * " - f . . . 4 - 6 . 1 0 4-/. 1 0 = 1 (mod3) и (mod 9); s s 1 2