* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

264 ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЧИСЕЛ Т е о р е м а Э й л е р а . При неограниченном к(п) п возрастании числа п 0. Это означает, что во всех достаточно больших начальных отрезках натурального ряда подавляющее большинство чисел будет составным, и лишь ничтожная доля будет входить в совокупность простых чисел. Чтобы доказать эту теорему Эйлера, нам понадобится предвари­ тельно установить следующее вспомогательное предложение: Л е м м а . Пусть р /? , ... означают простые числа, располо­ женные в порядке возрастания (так что p = 2, p% = 3 и т. д.). Тогда и 8 i при неограниченном возрастании п. Для доказательства заметим, что для любого k Поэтому on оо ос 1 T = i + 1 + - V + . . . = 0 f r. £ Р% J 1 — Pk - ^ P k p l ^ i=(2A)(2i)-(2i)Все n множителей правой части представляют собой абсолютно схо­ дящиеся ряды, которые, как известно'), можно перемножать почленно как конечные суммы. Общий член произведения будет иметь вид 1 Р?Рр...Рп и 2 п п где а а , а — любые числа ряда 0, 1, 2, . . . . Таким образом, мы можем написать: I * 2 п л 1 1 , где суммирование производится (в любом порядке) по всем комби­ нациям чисел а „ а , . . . , о . Но в виде р"*рр ... р%*, при надле­ жащем выборе чисел a может быть, очевидно, представлено любое if *) См. Э. э. м. кн. 3, Днффереициальпое и интегральное исчисление,