* Данный текст распознан в автоматическом режиме, поэтому может содержать ошибки

ДЕЛИМОСТЬ И ПРОСТЫЕ ЧИСЛА 261 т. е. оба—разложения числа п на простые множители полностью совпадают между собою. Этим фундаментальная теорема теории делимости полностью доказана. Мы видим, что ключом к ее доказательству нам служила важ­ ная теорема 2. Все доказательства фундаментальной теоремы так или иначе базируются на этом предложении; различия их касаются лишь того пути, каким мы приходим к теореме 2. Выше мы вы­ брали путь, идущий через теорему 1. Методологически этот путь важен и интересен тем, что он не предполагает известными свой­ ства наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел (для реализации этого пути нет даже надобности в зна­ комстве с этими двумя понятиями); дело в том, что исследование этих двух понятий с максимальной простотой и прозрачностью про­ водится, как известно, на основе самой фундаментальной теоремы. Однако методологически интересно показать, что решающая теорема 2 может быть доказана и совсем иным путём, обходящимся без теоремы 1 и опирающимся на элементарные свойства наимень­ шего общего кратного двух чисел. Проследим теперь этот путь. Прежде всего здесь надо установить структуру совокупности всех общих кратных . двух данных чисел а и Ь, т. е. всех чисел, делящихся как на а, так и на Ь. Если т — наименьшее положи­ тельное число, делящееся на а и на Ъ (т. е. наименьшее общее кратное чисел а и Ь), а т' — какое-либо другое общее кратное тех же чисел, то пусть q— частное, а г—остаток от деления т' на т, так что т' — qm - ( - г (0 ^ г<^т)\ отсюда r= tri — qm. Так как т' и т оба делятся на а и Ь, то число г также будет общим кратным чисел а и Ь; но r<^m, а т есть н а и м е н ь ш е е положительное общее кратное чисел а и Ь. Следовательно, г = 0 и m'=qm, т. е. всякое общее кратное чисел а и Ь делится на т. Так как, очевидно, и обратно — всякое число вида qm есть общее кратное чисел а и Ь, то совокупность общих кратных чисел а и b совпадает с совокупностью чисел, кратных неко­ торого одного числа т (которое есть н а и м е н ь ш е е общее крат­ ное чисел а и Ь). Теперь мы покажем, что наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно их произведению. Пусть числа а и Ь взаимно просты й о т — их наименьшее общее кратное. Так как произведение ab есть общее кратное чисел а и Ь, то согласно предыдущему ab = qm.